[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,18]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 15 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,18]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{18}I_{x\in [0,18]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{18}, 0\leq x\leq 18\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 15 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 15 )=\mathbb P(5<X\leq 15 )=F_X(15 )-F_X(5)= \frac{15 -5}{18 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 18]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{18 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{18}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*18\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,18]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 15 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,18]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{18}I_{x\in [0,18]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{18}, 0\leq x\leq 18\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 15 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 15 )=\mathbb P(5<X\leq 15 )=F_X(15 )-F_X(5)= \frac{15 -5}{18 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 18]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{18 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{18}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*18\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,12]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 9 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,12]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{12}I_{x\in [0,12]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{12}, 0\leq x\leq 12\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 9 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 9 )=\mathbb P(5<X\leq 9 )=F_X(9 )-F_X(5)= \frac{9 -5}{12 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 12]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{12 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{12}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*12\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,12]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 9 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,12]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{12}I_{x\in [0,12]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{12}, 0\leq x\leq 12\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 9 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 9 )=\mathbb P(5<X\leq 9 )=F_X(9 )-F_X(5)= \frac{9 -5}{12 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 12]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{12 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{12}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*12\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,12]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 9 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,12]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{12}I_{x\in [0,12]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{12}, 0\leq x\leq 12\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 9 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 9 )=\mathbb P(5<X\leq 9 )=F_X(9 )-F_X(5)= \frac{9 -5}{12 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 12]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{12 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{12}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*12\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,18]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 15 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,18]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{18}I_{x\in [0,18]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{18}, 0\leq x\leq 18\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 15 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 15 )=\mathbb P(5<X\leq 15 )=F_X(15 )-F_X(5)= \frac{15 -5}{18 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 18]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{18 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{18}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*18\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,18]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 15 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,18]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{18}I_{x\in [0,18]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{18}, 0\leq x\leq 18\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 15 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 15 )=\mathbb P(5<X\leq 15 )=F_X(15 )-F_X(5)= \frac{15 -5}{18 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 18]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{18 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{18}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*18\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,16]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 13 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,16]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{16}I_{x\in [0,16]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{16}, 0\leq x\leq 16\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 13 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 13 )=\mathbb P(5<X\leq 13 )=F_X(13 )-F_X(5)= \frac{13 -5}{16 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 16]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{16 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{16}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*16\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,12]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 9 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,12]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{12}I_{x\in [0,12]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{12}, 0\leq x\leq 12\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 9 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 9 )=\mathbb P(5<X\leq 9 )=F_X(9 )-F_X(5)= \frac{9 -5}{12 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 12]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{12 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{12}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*12\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,15]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 12 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,15]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{15}I_{x\in [0,15]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{15}, 0\leq x\leq 15\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 12 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 12 )=\mathbb P(5<X\leq 12 )=F_X(12 )-F_X(5)= \frac{12 -5}{15 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 15]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{15 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{15}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*15\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,11]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 8 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,11]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{11}I_{x\in [0,11]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{11}, 0\leq x\leq 11\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 8 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 8 )=\mathbb P(5<X\leq 8 )=F_X(8 )-F_X(5)= \frac{8 -5}{11 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 11]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{11 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{11}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*11\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,13]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 10 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,13]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{13}I_{x\in [0,13]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{13}, 0\leq x\leq 13\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 10 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 10 )=\mathbb P(5<X\leq 10 )=F_X(10 )-F_X(5)= \frac{10 -5}{13 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 13]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{13 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{13}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*13\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,20]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 17 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,20]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{20}I_{x\in [0,20]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{20}, 0\leq x\leq 20\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 17 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 17 )=\mathbb P(5<X\leq 17 )=F_X(17 )-F_X(5)= \frac{17 -5}{20 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 20]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{20 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{20}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*20\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,14]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 11 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,14]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{14}I_{x\in [0,14]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{14}, 0\leq x\leq 14\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 11 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 11 )=\mathbb P(5<X\leq 11 )=F_X(11 )-F_X(5)= \frac{11 -5}{14 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 14]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{14 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{14}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*14\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,17]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 14 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,17]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{17}I_{x\in [0,17]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{17}, 0\leq x\leq 17\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 14 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 14 )=\mathbb P(5<X\leq 14 )=F_X(14 )-F_X(5)= \frac{14 -5}{17 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 17]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{17 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{17}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*17\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoColectivoUniforme]

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar el colectivo de una cierta línea los días de semana por la mañana es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo \([0,19]\).

¿Cuál es la probabilidad de que espere entre 5 y 16 minutos?

¿Cuál es la media del tiempo de espera?

¿Aproximadamente el \(85\%\) de las veces espera menos de cuántos minutos?

Denotemos con \(X\) a la variable aleatoria que denota la cantidad de minutos queuna persona espera el colectivo. Sabemos que \(X\sim \mathcal U[0,19]\). Tenemos entonces que \[f_X(x)=\frac{1}{19}I_{x\in [0,19]}\quad\hbox{y}\quad F_X(x)=\frac{x}{19}, 0\leq x\leq 19\] Respondamos la preguntas planteadas: La probabilidad de que espere 5 y 16 minutos está dada por \[\mathbb P(5\leq X\leq 16 )=\mathbb P(5<X\leq 16 )=F_X(16 )-F_X(5)= \frac{16 -5}{19 },\] siendo que al ser \(X\) una v.a. continua, las probabilidades puntuales valen todas cero. Por eso, tener \(<\) o \(\leq\) no modifica el cálculo de probabilidades.

El tiempo medio de espera es la esperanza de \(X\). Siendo que tiene una distribución continua, buscamos el valor del medio del intervalo \([0, 19]\). Tenemos entonces que \(\mathbb E(X)=\frac{19 }{2}\).

Por último, debemos determinar el percentil 0.85 de la distribución. Es decir, debemos resolver \(F_X(x)=0.85\). Dada la fórmula de \(F_X\), buscamos \(x\) tal que \(\frac{x}{19}=0.85\). Conculuímos que \(x=0.85*19\).

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 48 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 129 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 20 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 24 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 44. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 8 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 127 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 28 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 10 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 38. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 45 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 156 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 34 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 16 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 50. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 158 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 22 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 41 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 63. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 53 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 122 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 44 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 11 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 55. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 39 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 163 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 30 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 20 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 50. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 48 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 143 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 50 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 12 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 62. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 40 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 122 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 15 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 39 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 54. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 32 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 151 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 10 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 30 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 40. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 52 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 120 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 40 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 73. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 15 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 172 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 20 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 28 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 48. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 34 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 163 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 50 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 83. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 20 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 135 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 50 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 17 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 67. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 21 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 143 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 13 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 16 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 29. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 6 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 179 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 37 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 21 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 58. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 39 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 127 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 23 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 17 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 40. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 176 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 24 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 44 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 68. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 12 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 169 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 24 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 35 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 59. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 19 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 137 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 14 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 18 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 32. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 42 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 162 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 47 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 41 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 88. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 35 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 178 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 47 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 27 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 74. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 35 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 158 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 31 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 28 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 59. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 32 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 169 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 31 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 72. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 11 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 171 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 28 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 32 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 60. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 27 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 132 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 30 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 47 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 77. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 34 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 165 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 10 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 19 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 29. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 158 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 19 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 13 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 32. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 20 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 175 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 26 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 21 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 47. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 38 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 151 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 47 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 43 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 90. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 4 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 165 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 22 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 18 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 40. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 32 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 146 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 23 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 31 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 54. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 29 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 171 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 24 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 36 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 60. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 22 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 138 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 11 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 21 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 32. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 51 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 121 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 40 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 11 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 51. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 25 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 165 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 29 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 17 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 46. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 20 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 141 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 28 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 21 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 49. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 6 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 170 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 16 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 39 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 55. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 12 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 160 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 15 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 37 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 52. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 24 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 139 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 48 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 47 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 95. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 7 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 179 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 49 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 34 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 83. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 40 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 141 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 40 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 39 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 79. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 5 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 154 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 13 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 33 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 46. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 24 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 142 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 14 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 41 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 55. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 19 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 128 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 24 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 12 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 36. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 32 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 120 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 45 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 28 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 73. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 10 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 134 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 31 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 42 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 73. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 132 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 25 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 66. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 48 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 128 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 45 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 39 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 84. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 18 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 145 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 19 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 31 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 50. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 11 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 130 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 13 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 15 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 28. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 5 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 155 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 36 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 17 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 53. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 19 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 169 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 17 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 25 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 42. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 21 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 137 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 16 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 45 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 61. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 26 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 178 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 19 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 13 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 32. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 18 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 164 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 38 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 14 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 52. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 24 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 164 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 45 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 22 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 67. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 135 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 48 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 34 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 82. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 27 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 163 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 42 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 22 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 64. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 141 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 21 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 24 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 45. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 50 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 128 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 19 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 37 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 56. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 15 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 140 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 33 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 66. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 172 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 40 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 11 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 51. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 40 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 155 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 35 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 23 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 58. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 24 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 153 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 36 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 26 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 62. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 4 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 160 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 45 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 12 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 57. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 51 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 132 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 23 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 25 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 48. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 52 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 128 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 14 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 55. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 37 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 153 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 30 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 32 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 62. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 44 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 138 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 14 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 24 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 38. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 28 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 180 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 28 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 13 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 41. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 38 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 158 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 29 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 48 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 77. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 26 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 178 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 29 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 30 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 59. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 19 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 126 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 19 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 19 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 38. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 48 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 132 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 45 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 19 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 64. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 32 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 145 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 15 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 17 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 32. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 52 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 122 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 10 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 42 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 52. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 47 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 120 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 39 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 40 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 79. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 12 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 169 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 22 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 63. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 126 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 30 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 15 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 45. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 36 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 180 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 27 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 68. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 148 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 50 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 83. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 38 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 132 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 16 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 25 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 41. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 41 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 139 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 41 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 29 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 70. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 38 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 145 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 11 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 43 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 54. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 34 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 141 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 22 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 11 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 33. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 3 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 175 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 27 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 60. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 27 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 123 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 42 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 13 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 55. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 17 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 139 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 14 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 50 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 64. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 9 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 176 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 17 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 18 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 35. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 17 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 166 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 49 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 36 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 85. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 179 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 48 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 33 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 81. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 40 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 146 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 14 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 11 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 25. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 7 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 141 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 25 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 25 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 50. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 139 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 44 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 28 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 72. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 33 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 158 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 18 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 15 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 33. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 8 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 164 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 44 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 37 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 81. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 8 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 155 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 36 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 34 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 70. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 27 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 152 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 32 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 18 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 50. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 14 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 175 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 33 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 12 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 45. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_TiempoBibliotecaExponencial]

La biblioteca de una facultad dispone de una red de computadoras al alcance de las y los estudiantes. El tiempo (en minutos) que un/a estudiante destina a búsqueda bibliográfica es una variable aleatoria exponencial, que llamaremos \(T\). Además, se sabe que el 13 \(\%\) de las y los estudiantes destinan más de 142 minutos a la búsqueda bibliográfica.

Hallar la esperanza de la variable aleatoria T.

Calcular la probabilidad de que un/a alumno/a destine más de 44 minutos a la búqueda bibliográfica.

Sabiendo que un/a alumno/a destinó esta semana más de 43 minutos a la búsqueda bibliográfica, calcular la probabilidad de que destine más de 87. Comparar con la probabilidad calculada en el ítem anterior.

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 64 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 37 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 76 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 76 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 22 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 76 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 68 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 63 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 63 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 28 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 63 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 70 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 74 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 16 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 70 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 65 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 65 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 35 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 65 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 64 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 66 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 74 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 15 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 73 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 72 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 72 y 74 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 23 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 72 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 68 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 68 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 37 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 68 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 78 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 27 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 66 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 62 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 62 y 70 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 23 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 62 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 65 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 65 y 68 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 36 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 65 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 68 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 73 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 24 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 40 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 77 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 73 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 73 y 78 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 45 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 73 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 70 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 70 y 77 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 70 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 65 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 65 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 65 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 64 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 68 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 17 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 83 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 18 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 75 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 74 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 24 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 63 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 31 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 46 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 57 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 57 y 66 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 21 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 57 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 78 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 77 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 77 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 49 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 77 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 76 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 29 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 66 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 62 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 62 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 38 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 62 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 61 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 64 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 21 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 76 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 24 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 61 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 61 y 63 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 61 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 68 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 33 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 65 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 62 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 62 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 38 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 62 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 73 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 74 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 24 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 73 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 70 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 70 y 77 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 10 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 70 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 13 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 73 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 14 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 60 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 55 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 55 y 62 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 17 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 55 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 65 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 65 y 69 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 50 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 65 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 80 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 77 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 77 y 82 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 50 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 77 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 38 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 78 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 76 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 76 y 82 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 36 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 76 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 76 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 46 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 75 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 12 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 64 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 64 y 68 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 12 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 64 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 15 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 65 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 64 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 64 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 18 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 64 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 73 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 77 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 73 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 73 y 78 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 18 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 73 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 31 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 70 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 10 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 11 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 77 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 82 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 25 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 68 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 17 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 78 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 79 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 16 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 75 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 77 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 23 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 61 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 56 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 56 y 64 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 39 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 56 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 64 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 66 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 20 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 80 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 77 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 77 y 85 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 27 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 77 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 65 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 64 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 64 y 66 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 18 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 64 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 77 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 76 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 76 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 21 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 76 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 68 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 16 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 75 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 32 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 70 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 43 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 70 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 39 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 29 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 63 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 58 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 58 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 16 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 58 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 63 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 29 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 60 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 58 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 58 y 62 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 32 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 58 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 83 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 30 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 63 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 32 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 64 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 64 y 69 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 15 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 64 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 63 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 63 y 71 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 27 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 63 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 65 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 61 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 61 y 66 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 15 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 61 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 75 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 75 y 83 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 28 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 75 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 75 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 46 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 76 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 78 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 14 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 74 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 74 y 84 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 37 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 74 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 65 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 61 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 61 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 32 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 61 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 75 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 71 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 71 y 79 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 19 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 71 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 76 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 73 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 73 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 32 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 73 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 66 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 65 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 65 y 70 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 14 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 65 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 68 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 68 y 75 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 17 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 68 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 61 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 63 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 37 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 72 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 73 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 43 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 69 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 67 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 67 y 73 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 33 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 67 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 68 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 68 y 75 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 10 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 68 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 74 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 69 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 69 y 76 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 42 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 69 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 62 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 64 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 26 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 67 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 64 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 64 y 72 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 12 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 64 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 80 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 79 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 79 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 33 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 79 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 75 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 70 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 70 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 17 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 70 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 63 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 59 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 59 y 68 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 13 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 59 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 74 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 70 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 70 y 78 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 13 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 70 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 64 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 60 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 60 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 14 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 60 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 79 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 77 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 77 y 80 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 19 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 77 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 63 y varianza 25. Se sabe que todos los hombres de menos de 58 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 58 y 65 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 15 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 58 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 63 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 58 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 58 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 2?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 28 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 58 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 64 y varianza 16. Se sabe que todos los hombres de menos de 61 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 61 y 67 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 13 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 61 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se sabe que todos los hombres de menos de 77 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 77 y 81 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 3?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 31 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 77 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 2?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_LongitudCinturonesNormal]

La medida, en centímetros, de la longitud de la cintura de los hombres en Buenos Aires sigue una distribución normal con media 71 y varianza 49. Se sabe que todos los hombres de menos de 66 cm. de cintura usan cinturón de talle 1, mientras que los de cintura entre 66 y 75 cm. usan talle 2 y los restantes talle 3.

¿Qué proporción de hombres usa cinturón de talle 1?

¿Cuál debería ser la longitud máxima de cintura del talle 1 si se quiere que el 23 % de los hombres use talle 1?

Carolina sabe que la cintura de su novio mide más de 66 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que use talle 3?

Si en la tienda entran azarosamente hombres a comprar de a un cinturón, ¿cuál es la probabilidad de que los primeros tres cinturones que se vendan sean del mismo talle?

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(4\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(4\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/169\), para \(t\in (0,13)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(12\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/289\), para \(t\in (0,17)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(16\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/121\), para \(t\in (0,11)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(10\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.9\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.75\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/196\), para \(t\in (0,14)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(13\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/144\), para \(t\in (0,12)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(11\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/225\), para \(t\in (0,15)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(14\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(2\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(2\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/100\), para \(t\in (0,10)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(3\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(3\) y \(9\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(5\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(5\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.7\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/256\), para \(t\in (0,16)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(15\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(6\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(6\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/400\), para \(t\in (0,20)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(8\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(8\) y \(19\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/361\), para \(t\in (0,19)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(7\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(7\) y \(18\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.85\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_TiroAlBlanco]

En un juego de tiro al blanco, la distancia al centro (en cm.) que obtiene Juan se considera una variable aleatoria \(X\) con la siguiente función de distribución acumulada toma el valor \(t^2/324\), para \(t\in (0,18)\)

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste menos de \(1\) cm. del blanco.

Hallar la probabilidad de que un tiro de Juan diste ente \(1\) y \(17\) unidades del blanco.

Calcular \(\mathbb E(X)\)

Calcular \(V(X)\)

Hallar el percentil (o cuantil) \(0.8\) de la distribución de \(X\).

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.9\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.95\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_CuantilNormalArea]

El siguiente grafico representa la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(-a\) y \(a\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\): \[\mathbb P(-a\leq Z\leq a)=0.99\]

El valor de \(a\) es

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=294\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=930\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(294,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 930\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*294,3*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 930)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*294}{3*17^2} \geq \frac{930-3*294}{\sqrt{3*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{930-3294}{\sqrt{3*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{930-3*294}{\sqrt{3*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=490\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2492\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(490,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2492\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*490,5*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2492)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*490}{5*14^2} \geq \frac{2492-5*490}{\sqrt{5*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2492-5490}{\sqrt{5*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2492-5*490}{\sqrt{5*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=292\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2411\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(292,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2411\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*292,8*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2411)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*292}{8*17^2} \geq \frac{2411-8*292}{\sqrt{8*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2411-8292}{\sqrt{8*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2411-8*292}{\sqrt{8*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=457\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2799\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(457,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2799\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*457,6*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2799)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*457}{6*19^2} \geq \frac{2799-6*457}{\sqrt{6*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2799-6457}{\sqrt{6*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2799-6*457}{\sqrt{6*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=383\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2738\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(383,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2738\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*383,7*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2738)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*383}{7*19^2} \geq \frac{2738-7*383}{\sqrt{7*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2738-7383}{\sqrt{7*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2738-7*383}{\sqrt{7*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=333\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2386\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(333,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2386\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*333,7*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2386)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*333}{7*17^2} \geq \frac{2386-7*333}{\sqrt{7*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2386-7333}{\sqrt{7*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2386-7*333}{\sqrt{7*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=265\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1633\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(265,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1633\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*265,6*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1633)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*265}{6*12^2} \geq \frac{1633-6*265}{\sqrt{6*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1633-6265}{\sqrt{6*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1633-6*265}{\sqrt{6*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=351\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2500\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(351,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2500\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*351,7*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2500)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*351}{7*11^2} \geq \frac{2500-7*351}{\sqrt{7*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2500-7351}{\sqrt{7*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2500-7*351}{\sqrt{7*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=294\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2392\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(294,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2392\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*294,8*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2392)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*294}{8*15^2} \geq \frac{2392-8*294}{\sqrt{8*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2392-8294}{\sqrt{8*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2392-8*294}{\sqrt{8*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=252\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1551\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(252,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1551\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*252,6*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1551)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*252}{6*12^2} \geq \frac{1551-6*252}{\sqrt{6*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1551-6252}{\sqrt{6*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1551-6*252}{\sqrt{6*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=369\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2987\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(369,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2987\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*369,8*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2987)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*369}{8*12^2} \geq \frac{2987-8*369}{\sqrt{8*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2987-8369}{\sqrt{8*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2987-8*369}{\sqrt{8*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=283\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1459\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(283,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1459\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*283,5*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1459)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*283}{5*20^2} \geq \frac{1459-5*283}{\sqrt{5*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1459-5283}{\sqrt{5*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1459-5*283}{\sqrt{5*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=468\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1910\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(468,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1910\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*468,4*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1910)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*468}{4*17^2} \geq \frac{1910-4*468}{\sqrt{4*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1910-4468}{\sqrt{4*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1910-4*468}{\sqrt{4*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=387\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2751\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(387,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2751\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*387,7*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2751)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*387}{7*13^2} \geq \frac{2751-7*387}{\sqrt{7*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2751-7387}{\sqrt{7*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2751-7*387}{\sqrt{7*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=291\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2071\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(291,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2071\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*291,7*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2071)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*291}{7*11^2} \geq \frac{2071-7*291}{\sqrt{7*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2071-7291}{\sqrt{7*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2071-7*291}{\sqrt{7*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=256\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1845\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(256,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1845\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*256,7*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1845)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*256}{7*20^2} \geq \frac{1845-7*256}{\sqrt{7*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1845-7256}{\sqrt{7*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1845-7*256}{\sqrt{7*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=454\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1390\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(454,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1390\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*454,3*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1390)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*454}{3*14^2} \geq \frac{1390-3*454}{\sqrt{3*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1390-3454}{\sqrt{3*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1390-3*454}{\sqrt{3*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=379\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1940\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(379,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1940\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*379,5*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1940)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*379}{5*18^2} \geq \frac{1940-5*379}{\sqrt{5*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1940-5379}{\sqrt{5*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1940-5*379}{\sqrt{5*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=283\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2023\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(283,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2023\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*283,7*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2023)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*283}{7*13^2} \geq \frac{2023-7*283}{\sqrt{7*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2023-7283}{\sqrt{7*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2023-7*283}{\sqrt{7*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=472\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1944\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(472,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1944\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*472,4*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1944)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*472}{4*18^2} \geq \frac{1944-4*472}{\sqrt{4*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1944-4472}{\sqrt{4*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1944-4*472}{\sqrt{4*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=487\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3439\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(487,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3439\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*487,7*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3439)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*487}{7*11^2} \geq \frac{3439-7*487}{\sqrt{7*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3439-7487}{\sqrt{7*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3439-7*487}{\sqrt{7*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=395\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1626\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(395,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1626\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*395,4*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1626)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*395}{4*18^2} \geq \frac{1626-4*395}{\sqrt{4*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1626-4395}{\sqrt{4*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1626-4*395}{\sqrt{4*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=373\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3034\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(373,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3034\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*373,8*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3034)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*373}{8*12^2} \geq \frac{3034-8*373}{\sqrt{8*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3034-8373}{\sqrt{8*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3034-8*373}{\sqrt{8*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=464\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3796\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(464,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3796\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*464,8*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3796)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*464}{8*18^2} \geq \frac{3796-8*464}{\sqrt{8*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3796-8464}{\sqrt{8*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3796-8*464}{\sqrt{8*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=360\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1113\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(360,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1113\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*360,3*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1113)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*360}{3*19^2} \geq \frac{1113-3*360}{\sqrt{3*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1113-3360}{\sqrt{3*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1113-3*360}{\sqrt{3*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=493\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3480\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(493,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3480\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*493,7*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3480)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*493}{7*10^2} \geq \frac{3480-7*493}{\sqrt{7*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3480-7493}{\sqrt{7*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3480-7*493}{\sqrt{7*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=326\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1669\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(326,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1669\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*326,5*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1669)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*326}{5*16^2} \geq \frac{1669-5*326}{\sqrt{5*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1669-5326}{\sqrt{5*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1669-5*326}{\sqrt{5*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=462\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1870\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(462,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1870\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*462,4*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1870)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*462}{4*10^2} \geq \frac{1870-4*462}{\sqrt{4*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1870-4462}{\sqrt{4*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1870-4*462}{\sqrt{4*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=319\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2311\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(319,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2311\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*319,7*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2311)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*319}{7*20^2} \geq \frac{2311-7*319}{\sqrt{7*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2311-7319}{\sqrt{7*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2311-7*319}{\sqrt{7*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=359\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2552\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(359,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2552\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*359,7*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2552)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*359}{7*15^2} \geq \frac{2552-7*359}{\sqrt{7*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2552-7359}{\sqrt{7*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2552-7*359}{\sqrt{7*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=474\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2877\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(474,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2877\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*474,6*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2877)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*474}{6*10^2} \geq \frac{2877-6*474}{\sqrt{6*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2877-6474}{\sqrt{6*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2877-6*474}{\sqrt{6*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=410\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1661\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(410,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1661\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*410,4*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1661)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*410}{4*10^2} \geq \frac{1661-4*410}{\sqrt{4*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1661-4410}{\sqrt{4*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1661-4*410}{\sqrt{4*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=271\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1143\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(271,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1143\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*271,4*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1143)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*271}{4*19^2} \geq \frac{1143-4*271}{\sqrt{4*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1143-4271}{\sqrt{4*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1143-4*271}{\sqrt{4*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=454\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2311\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(454,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2311\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*454,5*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2311)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*454}{5*15^2} \geq \frac{2311-5*454}{\sqrt{5*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2311-5454}{\sqrt{5*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2311-5*454}{\sqrt{5*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=316\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2602\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(316,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2602\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*316,8*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2602)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*316}{8*16^2} \geq \frac{2602-8*316}{\sqrt{8*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2602-8316}{\sqrt{8*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2602-8*316}{\sqrt{8*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=286\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1746\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(286,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1746\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*286,6*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1746)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*286}{6*14^2} \geq \frac{1746-6*286}{\sqrt{6*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1746-6286}{\sqrt{6*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1746-6*286}{\sqrt{6*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=363\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1839\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(363,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1839\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*363,5*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1839)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*363}{5*11^2} \geq \frac{1839-5*363}{\sqrt{5*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1839-5363}{\sqrt{5*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1839-5*363}{\sqrt{5*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=471\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2400\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(471,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2400\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*471,5*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2400)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*471}{5*15^2} \geq \frac{2400-5*471}{\sqrt{5*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2400-5471}{\sqrt{5*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2400-5*471}{\sqrt{5*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=301\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2454\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(301,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2454\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*301,8*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2454)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*301}{8*11^2} \geq \frac{2454-8*301}{\sqrt{8*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2454-8301}{\sqrt{8*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2454-8*301}{\sqrt{8*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=355\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1457\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(355,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1457\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*355,4*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1457)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*355}{4*18^2} \geq \frac{1457-4*355}{\sqrt{4*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1457-4355}{\sqrt{4*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1457-4*355}{\sqrt{4*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=302\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2188\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(302,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2188\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*302,7*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 2188)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*302}{7*19^2} \geq \frac{2188-7*302}{\sqrt{7*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2188-7302}{\sqrt{7*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2188-7*302}{\sqrt{7*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=494\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3009\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(494,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 3009\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*494,6*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 3009)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*494}{6*15^2} \geq \frac{3009-6*494}{\sqrt{6*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3009-6494}{\sqrt{6*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3009-6*494}{\sqrt{6*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=318\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1948\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(318,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1948\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*318,6*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1948)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*318}{6*18^2} \geq \frac{1948-6*318}{\sqrt{6*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1948-6318}{\sqrt{6*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1948-6*318}{\sqrt{6*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=409\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3324\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(409,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3324\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*409,8*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3324)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*409}{8*20^2} \geq \frac{3324-8*409}{\sqrt{8*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3324-8409}{\sqrt{8*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3324-8*409}{\sqrt{8*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=436\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1325\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(436,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1325\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*436,3*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1325)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*436}{3*10^2} \geq \frac{1325-3*436}{\sqrt{3*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1325-3436}{\sqrt{3*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1325-3*436}{\sqrt{3*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=272\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2202\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(272,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2202\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*272,8*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2202)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*272}{8*10^2} \geq \frac{2202-8*272}{\sqrt{8*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2202-8272}{\sqrt{8*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2202-8*272}{\sqrt{8*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=496\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3519\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(496,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3519\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*496,7*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3519)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*496}{7*18^2} \geq \frac{3519-7*496}{\sqrt{7*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3519-7496}{\sqrt{7*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3519-7*496}{\sqrt{7*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=320\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1967\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(320,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1967\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*320,6*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1967)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*320}{6*15^2} \geq \frac{1967-6*320}{\sqrt{6*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1967-6320}{\sqrt{6*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1967-6*320}{\sqrt{6*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=452\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2306\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(452,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2306\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*452,5*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2306)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*452}{5*16^2} \geq \frac{2306-5*452}{\sqrt{5*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2306-5452}{\sqrt{5*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2306-5*452}{\sqrt{5*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=453\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2298\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(453,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2298\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*453,5*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2298)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*453}{5*16^2} \geq \frac{2298-5*453}{\sqrt{5*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2298-5453}{\sqrt{5*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2298-5*453}{\sqrt{5*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=486\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2472\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(486,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2472\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*486,5*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2472)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*486}{5*16^2} \geq \frac{2472-5*486}{\sqrt{5*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2472-5486}{\sqrt{5*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2472-5*486}{\sqrt{5*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=372\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2313\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(372,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2313\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*372,6*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2313)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*372}{6*20^2} \geq \frac{2313-6*372}{\sqrt{6*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2313-6372}{\sqrt{6*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2313-6*372}{\sqrt{6*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=402\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1233\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(402,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1233\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*402,3*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1233)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*402}{3*10^2} \geq \frac{1233-3*402}{\sqrt{3*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1233-3402}{\sqrt{3*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1233-3*402}{\sqrt{3*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=397\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3219\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(397,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3219\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*397,8*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3219)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*397}{8*12^2} \geq \frac{3219-8*397}{\sqrt{8*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3219-8397}{\sqrt{8*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3219-8*397}{\sqrt{8*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=254\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=806\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(254,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 806\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*254,3*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 806)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*254}{3*20^2} \geq \frac{806-3*254}{\sqrt{3*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{806-3254}{\sqrt{3*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{806-3*254}{\sqrt{3*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=290\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1789\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(290,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1789\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*290,6*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1789)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*290}{6*15^2} \geq \frac{1789-6*290}{\sqrt{6*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1789-6290}{\sqrt{6*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1789-6*290}{\sqrt{6*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=289\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2346\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(289,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2346\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*289,8*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2346)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*289}{8*12^2} \geq \frac{2346-8*289}{\sqrt{8*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2346-8289}{\sqrt{8*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2346-8*289}{\sqrt{8*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=463\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1422\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(463,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1422\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*463,3*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1422)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*463}{3*16^2} \geq \frac{1422-3*463}{\sqrt{3*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1422-3463}{\sqrt{3*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1422-3*463}{\sqrt{3*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=315\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2561\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(315,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2561\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*315,8*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2561)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*315}{8*13^2} \geq \frac{2561-8*315}{\sqrt{8*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2561-8315}{\sqrt{8*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2561-8*315}{\sqrt{8*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=251\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1806\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(251,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1806\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*251,7*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1806)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*251}{7*15^2} \geq \frac{1806-7*251}{\sqrt{7*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1806-7251}{\sqrt{7*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1806-7*251}{\sqrt{7*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=391\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3181\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(391,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3181\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*391,8*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3181)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*391}{8*16^2} \geq \frac{3181-8*391}{\sqrt{8*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3181-8391}{\sqrt{8*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3181-8*391}{\sqrt{8*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=449\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3654\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(449,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3654\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*449,8*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3654)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*449}{8*17^2} \geq \frac{3654-8*449}{\sqrt{8*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3654-8449}{\sqrt{8*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3654-8*449}{\sqrt{8*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=365\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2946\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(365,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2946\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*365,8*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 2946)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*365}{8*11^2} \geq \frac{2946-8*365}{\sqrt{8*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2946-8365}{\sqrt{8*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2946-8*365}{\sqrt{8*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=271\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1667\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(271,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1667\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*271,6*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1667)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*271}{6*16^2} \geq \frac{1667-6*271}{\sqrt{6*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1667-6271}{\sqrt{6*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1667-6*271}{\sqrt{6*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=251\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1318\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(251,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1318\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*251,5*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1318)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*251}{5*20^2} \geq \frac{1318-5*251}{\sqrt{5*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1318-5251}{\sqrt{5*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1318-5*251}{\sqrt{5*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=375\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3040\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(375,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3040\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*375,8*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3040)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*375}{8*11^2} \geq \frac{3040-8*375}{\sqrt{8*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3040-8375}{\sqrt{8*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3040-8*375}{\sqrt{8*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=467\) días y desviación estándar \(\sigma=19\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2374\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(467,19^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2374\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*467,5*19^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2374)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*467}{5*19^2} \geq \frac{2374-5*467}{\sqrt{5*19^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2374-5467}{\sqrt{5*19^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2374-5*467}{\sqrt{5*19^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=260\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1065\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(260,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1065\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*260,4*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1065)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*260}{4*14^2} \geq \frac{1065-4*260}{\sqrt{4*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1065-4260}{\sqrt{4*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1065-4*260}{\sqrt{4*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=266\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=821\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(266,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 821\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*266,3*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 821)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*266}{3*15^2} \geq \frac{821-3*266}{\sqrt{3*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{821-3266}{\sqrt{3*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{821-3*266}{\sqrt{3*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=250\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1273\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(250,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1273\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*250,5*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1273)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*250}{5*11^2} \geq \frac{1273-5*250}{\sqrt{5*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1273-5250}{\sqrt{5*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1273-5*250}{\sqrt{5*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=352\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1077\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(352,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1077\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*352,3*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1077)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*352}{3*13^2} \geq \frac{1077-3*352}{\sqrt{3*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1077-3352}{\sqrt{3*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1077-3*352}{\sqrt{3*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=361\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1121\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(361,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1121\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*361,3*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1121)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*361}{3*15^2} \geq \frac{1121-3*361}{\sqrt{3*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1121-3361}{\sqrt{3*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1121-3*361}{\sqrt{3*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=401\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3239\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(401,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3239\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*401,8*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3239)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*401}{8*13^2} \geq \frac{3239-8*401}{\sqrt{8*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3239-8401}{\sqrt{8*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3239-8*401}{\sqrt{8*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=492\) días y desviación estándar \(\sigma=11\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2996\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(492,11^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2996\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*492,6*11^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2996)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*492}{6*11^2} \geq \frac{2996-6*492}{\sqrt{6*11^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2996-6492}{\sqrt{6*11^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2996-6*492}{\sqrt{6*11^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=378\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1157\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(378,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1157\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*378,3*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1157)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*378}{3*10^2} \geq \frac{1157-3*378}{\sqrt{3*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1157-3378}{\sqrt{3*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1157-3*378}{\sqrt{3*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=300\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1844\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(300,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1844\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*300,6*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 1844)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*300}{6*14^2} \geq \frac{1844-6*300}{\sqrt{6*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1844-6300}{\sqrt{6*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1844-6*300}{\sqrt{6*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=333\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2026\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(333,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2026\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*333,6*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2026)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*333}{6*10^2} \geq \frac{2026-6*333}{\sqrt{6*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2026-6333}{\sqrt{6*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2026-6*333}{\sqrt{6*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=456\) días y desviación estándar \(\sigma=14\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3236\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(456,14^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3236\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*456,7*14^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3236)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*456}{7*14^2} \geq \frac{3236-7*456}{\sqrt{7*14^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3236-7456}{\sqrt{7*14^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3236-7*456}{\sqrt{7*14^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=263\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1897\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(263,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1897\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*263,7*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1897)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*263}{7*15^2} \geq \frac{1897-7*263}{\sqrt{7*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1897-7263}{\sqrt{7*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1897-7*263}{\sqrt{7*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=252\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1813\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(252,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1813\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*252,7*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1813)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*252}{7*18^2} \geq \frac{1813-7*252}{\sqrt{7*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1813-7252}{\sqrt{7*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1813-7*252}{\sqrt{7*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=341\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1398\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(341,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1398\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*341,4*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1398)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*341}{4*17^2} \geq \frac{1398-4*341}{\sqrt{4*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1398-4341}{\sqrt{4*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1398-4*341}{\sqrt{4*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=348\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1771\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(348,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1771\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*348,5*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1771)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*348}{5*13^2} \geq \frac{1771-5*348}{\sqrt{5*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1771-5348}{\sqrt{5*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1771-5*348}{\sqrt{5*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=406\) días y desviación estándar \(\sigma=17\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3319\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(406,17^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3319\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*406,8*17^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3319)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*406}{8*17^2} \geq \frac{3319-8*406}{\sqrt{8*17^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3319-8406}{\sqrt{8*17^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3319-8*406}{\sqrt{8*17^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=308\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1566\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(308,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1566\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*308,5*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1566)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*308}{5*10^2} \geq \frac{1566-5*308}{\sqrt{5*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1566-5308}{\sqrt{5*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1566-5*308}{\sqrt{5*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=399\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2047\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(399,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2047\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*399,5*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2047)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*399}{5*18^2} \geq \frac{2047-5*399}{\sqrt{5*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2047-5399}{\sqrt{5*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2047-5*399}{\sqrt{5*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=265\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1381\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(265,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1381\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*265,5*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 1381)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*265}{5*16^2} \geq \frac{1381-5*265}{\sqrt{5*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1381-5265}{\sqrt{5*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1381-5*265}{\sqrt{5*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=316\) días y desviación estándar \(\sigma=16\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1302\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(316,16^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1302\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*316,4*16^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1302)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*316}{4*16^2} \geq \frac{1302-4*316}{\sqrt{4*16^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1302-4316}{\sqrt{4*16^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1302-4*316}{\sqrt{4*16^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=373\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2283\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(373,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2283\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*373,6*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2283)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*373}{6*15^2} \geq \frac{2283-6*373}{\sqrt{6*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2283-6373}{\sqrt{6*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2283-6*373}{\sqrt{6*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=409\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1251\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(409,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1251\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*409,3*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1251)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*409}{3*15^2} \geq \frac{1251-3*409}{\sqrt{3*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1251-3409}{\sqrt{3*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1251-3*409}{\sqrt{3*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=293\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1221\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(293,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1221\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*293,4*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1221)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*293}{4*20^2} \geq \frac{1221-4*293}{\sqrt{4*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1221-4293}{\sqrt{4*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1221-4*293}{\sqrt{4*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=455\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=5\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2305\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=5\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(455,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{5}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2305\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{5}X_i\sim \mathcal N(5*455,5*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{5}X_i\geq 2305)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{5}X_i -5*455}{5*10^2} \geq \frac{2305-5*455}{\sqrt{5*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2305-5455}{\sqrt{5*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2305-5*455}{\sqrt{5*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=412\) días y desviación estándar \(\sigma=13\) días. Se ponen \(n=4\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1677\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=4\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(412,13^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{4}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1677\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{4}X_i\sim \mathcal N(4*412,4*13^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{4}X_i\geq 1677)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{4}X_i -4*412}{4*13^2} \geq \frac{1677-4*412}{\sqrt{4*13^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1677-4412}{\sqrt{4*13^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1677-4*412}{\sqrt{4*13^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=400\) días y desviación estándar \(\sigma=12\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3242\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(400,12^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3242\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*400,8*12^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3242)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*400}{8*12^2} \geq \frac{3242-8*400}{\sqrt{8*12^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3242-8400}{\sqrt{8*12^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3242-8*400}{\sqrt{8*12^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=277\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1964\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(277,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1964\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*277,7*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 1964)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*277}{7*10^2} \geq \frac{1964-7*277}{\sqrt{7*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1964-7277}{\sqrt{7*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1964-7*277}{\sqrt{7*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=494\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3022\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(494,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 3022\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*494,6*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 3022)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*494}{6*20^2} \geq \frac{3022-6*494}{\sqrt{6*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3022-6494}{\sqrt{6*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3022-6*494}{\sqrt{6*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=427\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=6\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=2610\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=6\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(427,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{6}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2610\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{6}X_i\sim \mathcal N(6*427,6*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{6}X_i\geq 2610)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{6}X_i -6*427}{6*18^2} \geq \frac{2610-6*427}{\sqrt{6*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{2610-6427}{\sqrt{6*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{2610-6*427}{\sqrt{6*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=458\) días y desviación estándar \(\sigma=20\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3277\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(458,20^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3277\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*458,7*20^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3277)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*458}{7*20^2} \geq \frac{3277-7*458}{\sqrt{7*20^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3277-7458}{\sqrt{7*20^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3277-7*458}{\sqrt{7*20^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=395\) días y desviación estándar \(\sigma=18\) días. Se ponen \(n=3\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=1215\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=3\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(395,18^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{3}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1215\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{3}X_i\sim \mathcal N(3*395,3*18^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{3}X_i\geq 1215)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{3}X_i -3*395}{3*18^2} \geq \frac{1215-3*395}{\sqrt{3*18^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{1215-3395}{\sqrt{3*18^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{1215-3*395}{\sqrt{3*18^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=392\) días y desviación estándar \(\sigma=10\) días. Se ponen \(n=8\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3161\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=8\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(392,10^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{8}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3161\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{8}X_i\sim \mathcal N(8*392,8*10^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{8}X_i\geq 3161)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{8}X_i -8*392}{8*10^2} \geq \frac{3161-8*392}{\sqrt{8*10^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3161-8392}{\sqrt{8*10^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3161-8*392}{\sqrt{8*10^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_BateriasSumaNormal]

La duración de una batería se distribuye normalmente con media de \(\mu=443\) días y desviación estándar \(\sigma=15\) días. Se ponen \(n=7\) de tales baterías en cierto equipo, de forma tal que en cuanto una batería deja de funcionar, se activa instántaneamente la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione al menos \(t=3137\) días?

Denotemos con \(X_i\) a la duración de la \(i\)-ésima bateria, para \(1\leq i\leq n=7\). Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con misma distribución normal: \[X_i\sim \mathcal N(443,15^2).\]

El tiempo de funcionamiento del equipo está dado por la sumatoria de la duración de cada una de las baterias instaladas en el equipo. Es decir, el tiempo de funcionamiento está dado por \[\sum_{i=1}^{7}X_i.\] Luego, necesitamos calcular \[\mathbb P\left(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3137\right).\] Para calcular esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de la suma. Siendo que estamos sumando variables independientes con distribución normal, tenemos que

\[\sum_{i=1}^{7}X_i\sim \mathcal N(7*443,7*15^2).\] Luego, \[\mathbb P(\sum_{i=1}^{7}X_i\geq 3137)= \mathbb P\left(\frac{\sum_{i=1}^{7}X_i -7*443}{7*15^2} \geq \frac{3137-7*443}{\sqrt{7*15^2}}\right)=\mathbb P\left(Z\geq \frac{3137-7443}{\sqrt{7*15^2}}\right)=1-\phi\left(\frac{3137-7*443}{\sqrt{7*15^2}}\right),\] siendo \(\phi(t)=\mathbb P(Z\leq t)\), cuando \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.9\) y varianza \(\sigma^2=0.31\).

Calcular la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 278 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3058 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.9\) y varianza \(\sigma^2=0.31\); \(X_i\sim \mathcal N(3.9,0.31)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.9,n*0.31).\]

Luego, la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 278 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>278 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=72\), \(\mu=3.9\), \(\sigma^2= 0.31\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3058 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3058 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3058 \right)=1-\phi\left( \frac{3058-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3058-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3058-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3058-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3058+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3058+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3058\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.38\) y varianza \(\sigma^2=0.39\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 315 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3396 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.38\) y varianza \(\sigma^2=0.39\); \(X_i\sim \mathcal N(4.38,0.39)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.38,n*0.39).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 315 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>315 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{315-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{315-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.38\), \(\sigma^2= 0.39\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3396 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3396 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3396 \right)=1-\phi\left( \frac{3396-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3396-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3396-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3396-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3396+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3396+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3396\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.96\) y varianza \(\sigma^2=0.39\).

Calcular la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 349 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3040 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.96\) y varianza \(\sigma^2=0.39\); \(X_i\sim \mathcal N(4.96,0.39)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.96,n*0.39).\]

Luego, la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 349 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>349 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=71\), \(\mu=4.96\), \(\sigma^2= 0.39\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3040 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3040 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3040 \right)=1-\phi\left( \frac{3040-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3040-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3040-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3040-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3040+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3040+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3040\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.49\).

Calcular la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 287 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3115 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.49\); \(X_i\sim \mathcal N(4.39,0.49)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.39,n*0.49).\]

Luego, la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 287 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>287 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=66\), \(\mu=4.39\), \(\sigma^2= 0.49\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3115 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3115 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3115 \right)=1-\phi\left( \frac{3115-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3115-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3115-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3115-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3115+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3115+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3115\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.85\) y varianza \(\sigma^2=0.17\).

Calcular la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 322 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3434 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.85\) y varianza \(\sigma^2=0.17\); \(X_i\sim \mathcal N(4.85,0.17)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.85,n*0.17).\]

Luego, la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 322 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>322 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=67\), \(\mu=4.85\), \(\sigma^2= 0.17\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3434 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3434 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3434 \right)=1-\phi\left( \frac{3434-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3434-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3434-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3434-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3434+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3434+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3434\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.73\) y varianza \(\sigma^2=0.15\).

Calcular la probabilidad de que 63 quesos pesen más de 296 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3304 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.73\) y varianza \(\sigma^2=0.15\); \(X_i\sim \mathcal N(4.73,0.15)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.73,n*0.15).\]

Luego, la probabilidad de que 63 quesos pesen más de 296 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>296 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{296-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{296-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=63\), \(\mu=4.73\), \(\sigma^2= 0.15\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3304 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3304 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3304 \right)=1-\phi\left( \frac{3304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3304+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3304+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3304\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.81\) y varianza \(\sigma^2=0.33\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 225 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3314 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.81\) y varianza \(\sigma^2=0.33\); \(X_i\sim \mathcal N(3.81,0.33)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.81,n*0.33).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 225 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>225 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=3.81\), \(\sigma^2= 0.33\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3314 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3314 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3314 \right)=1-\phi\left( \frac{3314-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3314-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3314-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3314-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3314+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3314+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3314\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.61\) y varianza \(\sigma^2=0.44\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 282 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3379 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.61\) y varianza \(\sigma^2=0.44\); \(X_i\sim \mathcal N(4.61,0.44)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.61,n*0.44).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 282 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>282 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.61\), \(\sigma^2= 0.44\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3379 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3379 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3379 \right)=1-\phi\left( \frac{3379-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3379-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3379-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3379-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3379+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3379+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3379\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.06\) y varianza \(\sigma^2=0.21\).

Calcular la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 288 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3098 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.06\) y varianza \(\sigma^2=0.21\); \(X_i\sim \mathcal N(4.06,0.21)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.06,n*0.21).\]

Luego, la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 288 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>288 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=72\), \(\mu=4.06\), \(\sigma^2= 0.21\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3098 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3098 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3098 \right)=1-\phi\left( \frac{3098-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3098-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3098-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3098-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3098+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3098+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3098\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.13\) y varianza \(\sigma^2=0.37\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 245 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3157 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.13\) y varianza \(\sigma^2=0.37\); \(X_i\sim \mathcal N(4.13,0.37)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.13,n*0.37).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 245 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>245 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=4.13\), \(\sigma^2= 0.37\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3157 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3157 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3157 \right)=1-\phi\left( \frac{3157-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3157-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3157-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3157-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3157+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3157+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3157\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.82\) y varianza \(\sigma^2=0.2\).

Calcular la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 245 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3433 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.82\) y varianza \(\sigma^2=0.2\); \(X_i\sim \mathcal N(3.82,0.2)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.82,n*0.2).\]

Luego, la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 245 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>245 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=65\), \(\mu=3.82\), \(\sigma^2= 0.2\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3433 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3433 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3433 \right)=1-\phi\left( \frac{3433-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3433-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3433-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3433-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3433+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3433+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3433\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.67\) y varianza \(\sigma^2=0.21\).

Calcular la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 251 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3225 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.67\) y varianza \(\sigma^2=0.21\); \(X_i\sim \mathcal N(3.67,0.21)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.67,n*0.21).\]

Luego, la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 251 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>251 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=69\), \(\mu=3.67\), \(\sigma^2= 0.21\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3225 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3225 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3225 \right)=1-\phi\left( \frac{3225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3225-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3225+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3225+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3225\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.88\) y varianza \(\sigma^2=0.31\).

Calcular la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 358 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3342 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.88\) y varianza \(\sigma^2=0.31\); \(X_i\sim \mathcal N(4.88,0.31)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.88,n*0.31).\]

Luego, la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 358 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>358 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{358-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{358-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=74\), \(\mu=4.88\), \(\sigma^2= 0.31\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3342 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3342 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3342 \right)=1-\phi\left( \frac{3342-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3342-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3342-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3342-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3342+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3342+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3342\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.7\) y varianza \(\sigma^2=0.4\).

Calcular la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 243 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3003 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.7\) y varianza \(\sigma^2=0.4\); \(X_i\sim \mathcal N(3.7,0.4)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.7,n*0.4).\]

Luego, la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 243 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>243 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{243-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{243-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=67\), \(\mu=3.7\), \(\sigma^2= 0.4\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3003 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3003 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3003 \right)=1-\phi\left( \frac{3003-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3003-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3003-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3003-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3003+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3003+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3003\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.93\) y varianza \(\sigma^2=0.11\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 299 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3280 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.93\) y varianza \(\sigma^2=0.11\); \(X_i\sim \mathcal N(4.93,0.11)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.93,n*0.11).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 299 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>299 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{299-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{299-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.93\), \(\sigma^2= 0.11\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3280 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3280 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3280 \right)=1-\phi\left( \frac{3280-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3280-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3280-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3280-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3280+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3280+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3280\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.74\) y varianza \(\sigma^2=0.5\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 289 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3110 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.74\) y varianza \(\sigma^2=0.5\); \(X_i\sim \mathcal N(4.74,0.5)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.74,n*0.5).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 289 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>289 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.74\), \(\sigma^2= 0.5\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3110 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3110 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3110 \right)=1-\phi\left( \frac{3110-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3110-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3110-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3110-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3110+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3110+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3110\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.54\) y varianza \(\sigma^2=0.18\).

Calcular la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 292 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3362 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.54\) y varianza \(\sigma^2=0.18\); \(X_i\sim \mathcal N(4.54,0.18)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.54,n*0.18).\]

Luego, la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 292 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>292 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{292-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{292-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=65\), \(\mu=4.54\), \(\sigma^2= 0.18\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3362 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3362 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3362 \right)=1-\phi\left( \frac{3362-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3362-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3362-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3362-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3362+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3362+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3362\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.99\) y varianza \(\sigma^2=0.17\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 372 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3322 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.99\) y varianza \(\sigma^2=0.17\); \(X_i\sim \mathcal N(4.99,0.17)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.99,n*0.17).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 372 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>372 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{372-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{372-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=4.99\), \(\sigma^2= 0.17\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3322 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3322 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3322 \right)=1-\phi\left( \frac{3322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3322-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3322+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3322+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3322\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.59\) y varianza \(\sigma^2=0.32\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 340 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3464 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.59\) y varianza \(\sigma^2=0.32\); \(X_i\sim \mathcal N(4.59,0.32)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.59,n*0.32).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 340 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>340 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=4.59\), \(\sigma^2= 0.32\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3464 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3464 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3464 \right)=1-\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3464+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3464+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3464\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.08\) y varianza \(\sigma^2=0.41\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 242 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3330 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.08\) y varianza \(\sigma^2=0.41\); \(X_i\sim \mathcal N(4.08,0.41)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.08,n*0.41).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 242 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>242 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=4.08\), \(\sigma^2= 0.41\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3330 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3330 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3330 \right)=1-\phi\left( \frac{3330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3330+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3330+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3330\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.83\) y varianza \(\sigma^2=0.49\).

Calcular la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 343 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3489 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.83\) y varianza \(\sigma^2=0.49\); \(X_i\sim \mathcal N(4.83,0.49)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.83,n*0.49).\]

Luego, la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 343 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>343 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=72\), \(\mu=4.83\), \(\sigma^2= 0.49\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3489 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3489 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3489 \right)=1-\phi\left( \frac{3489-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3489-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3489-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3489-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3489+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3489+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3489\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.37\) y varianza \(\sigma^2=0.13\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 277 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3341 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.37\) y varianza \(\sigma^2=0.13\); \(X_i\sim \mathcal N(4.37,0.13)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.37,n*0.13).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 277 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>277 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{277-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{277-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.37\), \(\sigma^2= 0.13\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3341 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3341 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3341 \right)=1-\phi\left( \frac{3341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3341+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3341+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3341\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.6\) y varianza \(\sigma^2=0.35\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 219 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3254 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.6\) y varianza \(\sigma^2=0.35\); \(X_i\sim \mathcal N(3.6,0.35)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.6,n*0.35).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 219 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>219 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{219-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{219-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=3.6\), \(\sigma^2= 0.35\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3254 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3254 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3254 \right)=1-\phi\left( \frac{3254-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3254-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3254-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3254-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3254+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3254+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3254\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.61\) y varianza \(\sigma^2=0.27\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 281 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3126 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.61\) y varianza \(\sigma^2=0.27\); \(X_i\sim \mathcal N(3.61,0.27)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.61,n*0.27).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 281 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>281 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{281-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{281-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=3.61\), \(\sigma^2= 0.27\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3126 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3126 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3126 \right)=1-\phi\left( \frac{3126-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3126-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3126-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3126-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3126+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3126+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3126\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.56\) y varianza \(\sigma^2=0.22\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 339 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3193 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.56\) y varianza \(\sigma^2=0.22\); \(X_i\sim \mathcal N(4.56,0.22)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.56,n*0.22).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 339 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>339 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{339-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{339-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=4.56\), \(\sigma^2= 0.22\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3193 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3193 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3193 \right)=1-\phi\left( \frac{3193-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3193-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3193-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3193-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3193+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3193+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3193\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.07\) y varianza \(\sigma^2=0.34\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 245 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3238 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.07\) y varianza \(\sigma^2=0.34\); \(X_i\sim \mathcal N(4.07,0.34)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.07,n*0.34).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 245 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>245 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.07\), \(\sigma^2= 0.34\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3238 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3238 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3238 \right)=1-\phi\left( \frac{3238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3238+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3238+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3238\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.87\) y varianza \(\sigma^2=0.21\).

Calcular la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 275 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3414 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.87\) y varianza \(\sigma^2=0.21\); \(X_i\sim \mathcal N(3.87,0.21)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.87,n*0.21).\]

Luego, la probabilidad de que 72 quesos pesen más de 275 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>275 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{275-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{275-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=72\), \(\mu=3.87\), \(\sigma^2= 0.21\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3414 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3414 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3414 \right)=1-\phi\left( \frac{3414-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3414-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3414-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3414-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3414+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3414+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3414\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.49\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 250 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3288 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.49\); \(X_i\sim \mathcal N(4.11,0.49)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.11,n*0.49).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 250 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>250 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{250-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{250-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.11\), \(\sigma^2= 0.49\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3288 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3288 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3288 \right)=1-\phi\left( \frac{3288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3288-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3288+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3288+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3288\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.6\) y varianza \(\sigma^2=0.21\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 341 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3259 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.6\) y varianza \(\sigma^2=0.21\); \(X_i\sim \mathcal N(4.6,0.21)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.6,n*0.21).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 341 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>341 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{341-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=4.6\), \(\sigma^2= 0.21\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3259 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3259 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3259 \right)=1-\phi\left( \frac{3259-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3259-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3259-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3259-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3259+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3259+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3259\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.56\) y varianza \(\sigma^2=0.27\).

Calcular la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 229 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3480 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.56\) y varianza \(\sigma^2=0.27\); \(X_i\sim \mathcal N(3.56,0.27)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.56,n*0.27).\]

Luego, la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 229 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>229 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{229-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{229-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=65\), \(\mu=3.56\), \(\sigma^2= 0.27\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3480 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3480 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3480 \right)=1-\phi\left( \frac{3480-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3480-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3480-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3480-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3480+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3480+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3480\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.97\) y varianza \(\sigma^2=0.37\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 387 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3443 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.97\) y varianza \(\sigma^2=0.37\); \(X_i\sim \mathcal N(4.97,0.37)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.97,n*0.37).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 387 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>387 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{387-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{387-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=4.97\), \(\sigma^2= 0.37\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3443 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3443 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3443 \right)=1-\phi\left( \frac{3443-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3443-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3443-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3443-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3443+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3443+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3443\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.69\) y varianza \(\sigma^2=0.46\).

Calcular la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 278 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3287 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.69\) y varianza \(\sigma^2=0.46\); \(X_i\sim \mathcal N(3.69,0.46)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.69,n*0.46).\]

Luego, la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 278 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>278 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=77\), \(\mu=3.69\), \(\sigma^2= 0.46\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3287 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3287 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3287 \right)=1-\phi\left( \frac{3287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3287+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3287+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3287\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.87\) y varianza \(\sigma^2=0.31\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 294 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3464 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.87\) y varianza \(\sigma^2=0.31\); \(X_i\sim \mathcal N(4.87,0.31)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.87,n*0.31).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 294 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>294 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.87\), \(\sigma^2= 0.31\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3464 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3464 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3464 \right)=1-\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3464-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3464+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3464+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3464\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.15\).

Calcular la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 349 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3117 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.15\); \(X_i\sim \mathcal N(4.39,0.15)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.39,n*0.15).\]

Luego, la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 349 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>349 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=80\), \(\mu=4.39\), \(\sigma^2= 0.15\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3117 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3117 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3117 \right)=1-\phi\left( \frac{3117-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3117-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3117-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3117-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3117+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3117+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3117\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.63\) y varianza \(\sigma^2=0.2\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 294 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3283 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.63\) y varianza \(\sigma^2=0.2\); \(X_i\sim \mathcal N(4.63,0.2)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.63,n*0.2).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 294 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>294 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.63\), \(\sigma^2= 0.2\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3283 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3283 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3283 \right)=1-\phi\left( \frac{3283-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3283-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3283-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3283-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3283+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3283+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3283\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.74\) y varianza \(\sigma^2=0.1\).

Calcular la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 330 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3432 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.74\) y varianza \(\sigma^2=0.1\); \(X_i\sim \mathcal N(4.74,0.1)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.74,n*0.1).\]

Luego, la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 330 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>330 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{330-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=70\), \(\mu=4.74\), \(\sigma^2= 0.1\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3432 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3432 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3432 \right)=1-\phi\left( \frac{3432-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3432-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3432-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3432-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3432+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3432+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3432\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.74\) y varianza \(\sigma^2=0.47\).

Calcular la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 273 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3065 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.74\) y varianza \(\sigma^2=0.47\); \(X_i\sim \mathcal N(3.74,0.47)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.74,n*0.47).\]

Luego, la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 273 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>273 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{273-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{273-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=74\), \(\mu=3.74\), \(\sigma^2= 0.47\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3065 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3065 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3065 \right)=1-\phi\left( \frac{3065-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3065-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3065-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3065-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3065+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3065+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3065\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.18\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 317 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3146 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.18\); \(X_i\sim \mathcal N(4.39,0.18)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.39,n*0.18).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 317 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>317 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.39\), \(\sigma^2= 0.18\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3146 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3146 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3146 \right)=1-\phi\left( \frac{3146-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3146-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3146-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3146-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3146+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3146+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3146\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.9\) y varianza \(\sigma^2=0.28\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 304 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3438 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.9\) y varianza \(\sigma^2=0.28\); \(X_i\sim \mathcal N(3.9,0.28)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.9,n*0.28).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 304 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>304 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{304-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=3.9\), \(\sigma^2= 0.28\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3438 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3438 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3438 \right)=1-\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3438+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3438+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3438\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.98\) y varianza \(\sigma^2=0.29\).

Calcular la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 302 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3417 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.98\) y varianza \(\sigma^2=0.29\); \(X_i\sim \mathcal N(3.98,0.29)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.98,n*0.29).\]

Luego, la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 302 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>302 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{302-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{302-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=77\), \(\mu=3.98\), \(\sigma^2= 0.29\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3417 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3417 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3417 \right)=1-\phi\left( \frac{3417-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3417-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3417-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3417-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3417+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3417+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3417\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.77\) y varianza \(\sigma^2=0.42\).

Calcular la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 349 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3500 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.77\) y varianza \(\sigma^2=0.42\); \(X_i\sim \mathcal N(4.77,0.42)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.77,n*0.42).\]

Luego, la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 349 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>349 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{349-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=74\), \(\mu=4.77\), \(\sigma^2= 0.42\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3500 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3500 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3500 \right)=1-\phi\left( \frac{3500-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3500-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3500-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3500-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3500+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3500+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3500\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.6\) y varianza \(\sigma^2=0.45\).

Calcular la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 323 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3224 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.6\) y varianza \(\sigma^2=0.45\); \(X_i\sim \mathcal N(4.6,0.45)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.6,n*0.45).\]

Luego, la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 323 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>323 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{323-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{323-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=71\), \(\mu=4.6\), \(\sigma^2= 0.45\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3224 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3224 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3224 \right)=1-\phi\left( \frac{3224-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3224-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3224-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3224-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3224+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3224+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3224\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.58\) y varianza \(\sigma^2=0.36\).

Calcular la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 303 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3338 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.58\) y varianza \(\sigma^2=0.36\); \(X_i\sim \mathcal N(4.58,0.36)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.58,n*0.36).\]

Luego, la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 303 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>303 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{303-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{303-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=67\), \(\mu=4.58\), \(\sigma^2= 0.36\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3338 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3338 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3338 \right)=1-\phi\left( \frac{3338-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3338-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3338-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3338-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3338+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3338+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3338\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.18\) y varianza \(\sigma^2=0.43\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 251 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3262 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.18\) y varianza \(\sigma^2=0.43\); \(X_i\sim \mathcal N(4.18,0.43)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.18,n*0.43).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 251 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>251 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.18\), \(\sigma^2= 0.43\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3262 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3262 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3262 \right)=1-\phi\left( \frac{3262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3262+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3262+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3262\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.91\) y varianza \(\sigma^2=0.1\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 241 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3376 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.91\) y varianza \(\sigma^2=0.1\); \(X_i\sim \mathcal N(3.91,0.1)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.91,n*0.1).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 241 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>241 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{241-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{241-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=3.91\), \(\sigma^2= 0.1\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3376 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3376 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3376 \right)=1-\phi\left( \frac{3376-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3376-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3376-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3376-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3376+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3376+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3376\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.14\) y varianza \(\sigma^2=0.32\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 262 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3116 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.14\) y varianza \(\sigma^2=0.32\); \(X_i\sim \mathcal N(4.14,0.32)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.14,n*0.32).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 262 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>262 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{262-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.14\), \(\sigma^2= 0.32\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3116 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3116 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3116 \right)=1-\phi\left( \frac{3116-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3116-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3116-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3116-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3116+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3116+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3116\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.43\) y varianza \(\sigma^2=0.4\).

Calcular la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 294 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3496 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.43\) y varianza \(\sigma^2=0.4\); \(X_i\sim \mathcal N(4.43,0.4)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.43,n*0.4).\]

Luego, la probabilidad de que 67 quesos pesen más de 294 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>294 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=67\), \(\mu=4.43\), \(\sigma^2= 0.4\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3496 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3496 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3496 \right)=1-\phi\left( \frac{3496-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3496-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3496-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3496-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3496+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3496+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3496\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.98\) y varianza \(\sigma^2=0.38\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 306 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.98\) y varianza \(\sigma^2=0.38\); \(X_i\sim \mathcal N(4.98,0.38)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.98,n*0.38).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 306 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>306 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{306-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{306-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.98\), \(\sigma^2= 0.38\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)=1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3166+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3166+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3166\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.78\) y varianza \(\sigma^2=0.47\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 344 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3383 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.78\) y varianza \(\sigma^2=0.47\); \(X_i\sim \mathcal N(4.78,0.47)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.78,n*0.47).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 344 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>344 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{344-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{344-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.78\), \(\sigma^2= 0.47\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3383 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3383 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3383 \right)=1-\phi\left( \frac{3383-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3383-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3383-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3383-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3383+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3383+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3383\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.35\) y varianza \(\sigma^2=0.32\).

Calcular la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 305 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3370 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.35\) y varianza \(\sigma^2=0.32\); \(X_i\sim \mathcal N(4.35,0.32)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.35,n*0.32).\]

Luego, la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 305 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>305 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=71\), \(\mu=4.35\), \(\sigma^2= 0.32\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3370 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3370 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3370 \right)=1-\phi\left( \frac{3370-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3370-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3370-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3370-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3370+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3370+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3370\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.96\) y varianza \(\sigma^2=0.12\).

Calcular la probabilidad de que 76 quesos pesen más de 299 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3301 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.96\) y varianza \(\sigma^2=0.12\); \(X_i\sim \mathcal N(3.96,0.12)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.96,n*0.12).\]

Luego, la probabilidad de que 76 quesos pesen más de 299 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>299 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{299-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{299-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=76\), \(\mu=3.96\), \(\sigma^2= 0.12\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3301 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3301 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3301 \right)=1-\phi\left( \frac{3301-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3301-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3301-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3301-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3301+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3301+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3301\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.49\) y varianza \(\sigma^2=0.46\).

Calcular la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 356 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3052 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.49\) y varianza \(\sigma^2=0.46\); \(X_i\sim \mathcal N(4.49,0.46)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.49,n*0.46).\]

Luego, la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 356 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>356 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=80\), \(\mu=4.49\), \(\sigma^2= 0.46\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3052 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3052 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3052 \right)=1-\phi\left( \frac{3052-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3052-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3052-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3052-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3052+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3052+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3052\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.83\) y varianza \(\sigma^2=0.14\).

Calcular la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 355 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3282 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.83\) y varianza \(\sigma^2=0.14\); \(X_i\sim \mathcal N(4.83,0.14)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.83,n*0.14).\]

Luego, la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 355 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>355 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{355-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{355-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=74\), \(\mu=4.83\), \(\sigma^2= 0.14\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3282 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3282 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3282 \right)=1-\phi\left( \frac{3282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3282-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3282+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3282+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3282\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.71\) y varianza \(\sigma^2=0.22\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 276 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3407 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.71\) y varianza \(\sigma^2=0.22\); \(X_i\sim \mathcal N(3.71,0.22)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.71,n*0.22).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 276 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>276 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{276-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{276-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=3.71\), \(\sigma^2= 0.22\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3407 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3407 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3407 \right)=1-\phi\left( \frac{3407-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3407-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3407-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3407-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3407+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3407+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3407\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.72\) y varianza \(\sigma^2=0.22\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 300 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3032 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.72\) y varianza \(\sigma^2=0.22\); \(X_i\sim \mathcal N(4.72,0.22)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.72,n*0.22).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 300 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>300 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{300-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{300-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.72\), \(\sigma^2= 0.22\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3032 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3032 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3032 \right)=1-\phi\left( \frac{3032-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3032-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3032-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3032-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3032+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3032+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3032\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.23\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 278 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3137 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.23\); \(X_i\sim \mathcal N(3.58,0.23)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.58,n*0.23).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 278 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>278 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{278-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=3.58\), \(\sigma^2= 0.23\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3137 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3137 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3137 \right)=1-\phi\left( \frac{3137-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3137-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3137-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3137-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3137+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3137+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3137\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.29\) y varianza \(\sigma^2=0.28\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 271 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3286 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.29\) y varianza \(\sigma^2=0.28\); \(X_i\sim \mathcal N(4.29,0.28)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.29,n*0.28).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 271 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>271 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{271-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{271-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.29\), \(\sigma^2= 0.28\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3286 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3286 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3286 \right)=1-\phi\left( \frac{3286-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3286-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3286-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3286-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3286+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3286+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3286\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.72\) y varianza \(\sigma^2=0.37\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 234 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3125 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.72\) y varianza \(\sigma^2=0.37\); \(X_i\sim \mathcal N(3.72,0.37)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.72,n*0.37).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 234 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>234 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{234-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{234-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=3.72\), \(\sigma^2= 0.37\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3125 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3125 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3125 \right)=1-\phi\left( \frac{3125-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3125-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3125-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3125-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3125+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3125+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3125\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.49\) y varianza \(\sigma^2=0.24\).

Calcular la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 294 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3095 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.49\) y varianza \(\sigma^2=0.24\); \(X_i\sim \mathcal N(4.49,0.24)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.49,n*0.24).\]

Luego, la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 294 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>294 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{294-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=66\), \(\mu=4.49\), \(\sigma^2= 0.24\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3095 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3095 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3095 \right)=1-\phi\left( \frac{3095-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3095-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3095-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3095-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3095+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3095+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3095\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.36\) y varianza \(\sigma^2=0.27\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 275 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3240 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.36\) y varianza \(\sigma^2=0.27\); \(X_i\sim \mathcal N(4.36,0.27)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.36,n*0.27).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 275 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>275 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{275-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{275-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.36\), \(\sigma^2= 0.27\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3240 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3240 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3240 \right)=1-\phi\left( \frac{3240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3240+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3240+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3240\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.28\) y varianza \(\sigma^2=0.5\).

Calcular la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 300 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3109 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.28\) y varianza \(\sigma^2=0.5\); \(X_i\sim \mathcal N(4.28,0.5)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.28,n*0.5).\]

Luego, la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 300 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>300 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{300-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{300-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=71\), \(\mu=4.28\), \(\sigma^2= 0.5\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3109 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3109 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3109 \right)=1-\phi\left( \frac{3109-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3109-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3109-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3109-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3109+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3109+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3109\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.9\) y varianza \(\sigma^2=0.27\).

Calcular la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 315 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3431 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.9\) y varianza \(\sigma^2=0.27\); \(X_i\sim \mathcal N(4.9,0.27)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.9,n*0.27).\]

Luego, la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 315 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>315 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{315-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{315-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=65\), \(\mu=4.9\), \(\sigma^2= 0.27\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3431 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3431 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3431 \right)=1-\phi\left( \frac{3431-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3431-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3431-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3431-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3431+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3431+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3431\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.23\) y varianza \(\sigma^2=0.25\).

Calcular la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 289 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3147 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.23\) y varianza \(\sigma^2=0.25\); \(X_i\sim \mathcal N(4.23,0.25)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.23,n*0.25).\]

Luego, la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 289 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>289 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=69\), \(\mu=4.23\), \(\sigma^2= 0.25\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3147 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3147 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3147 \right)=1-\phi\left( \frac{3147-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3147-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3147-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3147-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3147+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3147+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3147\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.43\) y varianza \(\sigma^2=0.15\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 272 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3047 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.43\) y varianza \(\sigma^2=0.15\); \(X_i\sim \mathcal N(4.43,0.15)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.43,n*0.15).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 272 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>272 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.43\), \(\sigma^2= 0.15\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3047 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3047 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3047 \right)=1-\phi\left( \frac{3047-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3047-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3047-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3047-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3047+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3047+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3047\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.02\) y varianza \(\sigma^2=0.33\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 245 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3173 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.02\) y varianza \(\sigma^2=0.33\); \(X_i\sim \mathcal N(4.02,0.33)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.02,n*0.33).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 245 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>245 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{245-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.02\), \(\sigma^2= 0.33\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3173 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3173 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3173 \right)=1-\phi\left( \frac{3173-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3173-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3173-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3173-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3173+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3173+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3173\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.26\) y varianza \(\sigma^2=0.38\).

Calcular la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 329 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3021 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.26\) y varianza \(\sigma^2=0.38\); \(X_i\sim \mathcal N(4.26,0.38)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.26,n*0.38).\]

Luego, la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 329 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>329 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{329-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{329-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=78\), \(\mu=4.26\), \(\sigma^2= 0.38\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3021 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3021 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3021 \right)=1-\phi\left( \frac{3021-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3021-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3021-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3021-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3021+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3021+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3021\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.86\) y varianza \(\sigma^2=0.49\).

Calcular la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 306 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3290 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.86\) y varianza \(\sigma^2=0.49\); \(X_i\sim \mathcal N(3.86,0.49)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.86,n*0.49).\]

Luego, la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 306 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>306 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{306-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{306-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=80\), \(\mu=3.86\), \(\sigma^2= 0.49\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3290 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3290 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3290 \right)=1-\phi\left( \frac{3290-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3290-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3290-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3290-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3290+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3290+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3290\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.13\) y varianza \(\sigma^2=0.36\).

Calcular la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 252 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3353 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.13\) y varianza \(\sigma^2=0.36\); \(X_i\sim \mathcal N(4.13,0.36)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.13,n*0.36).\]

Luego, la probabilidad de que 62 quesos pesen más de 252 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>252 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{252-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{252-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=62\), \(\mu=4.13\), \(\sigma^2= 0.36\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3353 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3353 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3353 \right)=1-\phi\left( \frac{3353-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3353-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3353-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3353-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3353+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3353+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3353\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.79\) y varianza \(\sigma^2=0.15\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 285 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3334 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.79\) y varianza \(\sigma^2=0.15\); \(X_i\sim \mathcal N(4.79,0.15)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.79,n*0.15).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 285 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>285 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{285-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{285-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=4.79\), \(\sigma^2= 0.15\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3334 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3334 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3334 \right)=1-\phi\left( \frac{3334-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3334-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3334-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3334-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3334+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3334+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3334\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.84\) y varianza \(\sigma^2=0.5\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 240 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3123 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.84\) y varianza \(\sigma^2=0.5\); \(X_i\sim \mathcal N(3.84,0.5)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.84,n*0.5).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 240 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>240 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{240-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=3.84\), \(\sigma^2= 0.5\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3123 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3123 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3123 \right)=1-\phi\left( \frac{3123-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3123-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3123-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3123-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3123+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3123+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3123\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.3\) y varianza \(\sigma^2=0.44\).

Calcular la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 332 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.3\) y varianza \(\sigma^2=0.44\); \(X_i\sim \mathcal N(4.3,0.44)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.3,n*0.44).\]

Luego, la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 332 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>332 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{332-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{332-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=78\), \(\mu=4.3\), \(\sigma^2= 0.44\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)=1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3166+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3166+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3166\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.07\) y varianza \(\sigma^2=0.37\).

Calcular la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 272 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3272 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.07\) y varianza \(\sigma^2=0.37\); \(X_i\sim \mathcal N(4.07,0.37)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.07,n*0.37).\]

Luego, la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 272 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>272 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=68\), \(\mu=4.07\), \(\sigma^2= 0.37\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3272 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3272 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3272 \right)=1-\phi\left( \frac{3272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3272-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3272+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3272+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3272\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.82\) y varianza \(\sigma^2=0.23\).

Calcular la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 305 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3087 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.82\) y varianza \(\sigma^2=0.23\); \(X_i\sim \mathcal N(4.82,0.23)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.82,n*0.23).\]

Luego, la probabilidad de que 64 quesos pesen más de 305 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>305 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=64\), \(\mu=4.82\), \(\sigma^2= 0.23\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3087 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3087 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3087 \right)=1-\phi\left( \frac{3087-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3087-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3087-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3087-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3087+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3087+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3087\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.99\) y varianza \(\sigma^2=0.18\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 237 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3251 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.99\) y varianza \(\sigma^2=0.18\); \(X_i\sim \mathcal N(3.99,0.18)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.99,n*0.18).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 237 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>237 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{237-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{237-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=3.99\), \(\sigma^2= 0.18\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3251 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3251 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3251 \right)=1-\phi\left( \frac{3251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3251-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3251+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3251+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3251\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.71\) y varianza \(\sigma^2=0.25\).

Calcular la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 364 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3163 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.71\) y varianza \(\sigma^2=0.25\); \(X_i\sim \mathcal N(4.71,0.25)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.71,n*0.25).\]

Luego, la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 364 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>364 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{364-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{364-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=78\), \(\mu=4.71\), \(\sigma^2= 0.25\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3163 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3163 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3163 \right)=1-\phi\left( \frac{3163-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3163-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3163-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3163-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3163+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3163+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3163\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.41\) y varianza \(\sigma^2=0.3\).

Calcular la probabilidad de que 63 quesos pesen más de 274 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3356 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.41\) y varianza \(\sigma^2=0.3\); \(X_i\sim \mathcal N(4.41,0.3)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.41,n*0.3).\]

Luego, la probabilidad de que 63 quesos pesen más de 274 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>274 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{274-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{274-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=63\), \(\mu=4.41\), \(\sigma^2= 0.3\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3356 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3356 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3356 \right)=1-\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3356+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3356+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3356\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.96\) y varianza \(\sigma^2=0.18\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 238 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3321 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.96\) y varianza \(\sigma^2=0.18\); \(X_i\sim \mathcal N(3.96,0.18)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.96,n*0.18).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 238 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>238 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{238-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=3.96\), \(\sigma^2= 0.18\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3321 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3321 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3321 \right)=1-\phi\left( \frac{3321-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3321-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3321-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3321-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3321+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3321+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3321\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.2\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 249 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3419 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.2\); \(X_i\sim \mathcal N(4.11,0.2)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.11,n*0.2).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 249 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>249 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{249-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{249-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.11\), \(\sigma^2= 0.2\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3419 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3419 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3419 \right)=1-\phi\left( \frac{3419-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3419-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3419-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3419-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3419+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3419+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3419\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.14\) y varianza \(\sigma^2=0.44\).

Calcular la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 276 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3451 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.14\) y varianza \(\sigma^2=0.44\); \(X_i\sim \mathcal N(4.14,0.44)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.14,n*0.44).\]

Luego, la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 276 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>276 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{276-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{276-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=68\), \(\mu=4.14\), \(\sigma^2= 0.44\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3451 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3451 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3451 \right)=1-\phi\left( \frac{3451-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3451-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3451-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3451-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3451+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3451+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3451\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.59\) y varianza \(\sigma^2=0.29\).

Calcular la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 317 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3120 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.59\) y varianza \(\sigma^2=0.29\); \(X_i\sim \mathcal N(4.59,0.29)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.59,n*0.29).\]

Luego, la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 317 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>317 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=70\), \(\mu=4.59\), \(\sigma^2= 0.29\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3120 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3120 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3120 \right)=1-\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3120+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3120+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3120\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.45\) y varianza \(\sigma^2=0.19\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 269 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3438 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.45\) y varianza \(\sigma^2=0.19\); \(X_i\sim \mathcal N(4.45,0.19)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.45,n*0.19).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 269 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>269 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{269-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{269-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=4.45\), \(\sigma^2= 0.19\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3438 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3438 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3438 \right)=1-\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3438-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3438+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3438+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3438\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.99\) y varianza \(\sigma^2=0.37\).

Calcular la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 394 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.99\) y varianza \(\sigma^2=0.37\); \(X_i\sim \mathcal N(4.99,0.37)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.99,n*0.37).\]

Luego, la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 394 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>394 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{394-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{394-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=80\), \(\mu=4.99\), \(\sigma^2= 0.37\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3166 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3166 \right)=1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3166-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3166+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3166+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3166\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.89\) y varianza \(\sigma^2=0.42\).

Calcular la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 332 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3311 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.89\) y varianza \(\sigma^2=0.42\); \(X_i\sim \mathcal N(4.89,0.42)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.89,n*0.42).\]

Luego, la probabilidad de que 69 quesos pesen más de 332 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>332 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{332-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{332-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=69\), \(\mu=4.89\), \(\sigma^2= 0.42\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3311 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3311 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3311 \right)=1-\phi\left( \frac{3311-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3311-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3311-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3311-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3311+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3311+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3311\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.25\).

Calcular la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 216 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3207 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.25\); \(X_i\sim \mathcal N(3.58,0.25)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.58,n*0.25).\]

Luego, la probabilidad de que 61 quesos pesen más de 216 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>216 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{216-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{216-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=61\), \(\mu=3.58\), \(\sigma^2= 0.25\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3207 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3207 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3207 \right)=1-\phi\left( \frac{3207-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3207-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3207-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3207-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3207+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3207+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3207\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.64\) y varianza \(\sigma^2=0.41\).

Calcular la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 354 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3340 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.64\) y varianza \(\sigma^2=0.41\); \(X_i\sim \mathcal N(4.64,0.41)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.64,n*0.41).\]

Luego, la probabilidad de que 77 quesos pesen más de 354 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>354 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{354-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{354-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=77\), \(\mu=4.64\), \(\sigma^2= 0.41\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3340 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3340 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3340 \right)=1-\phi\left( \frac{3340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3340-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3340+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3340+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3340\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.34\) y varianza \(\sigma^2=0.17\).

Calcular la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 318 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3118 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.34\) y varianza \(\sigma^2=0.17\); \(X_i\sim \mathcal N(4.34,0.17)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.34,n*0.17).\]

Luego, la probabilidad de que 74 quesos pesen más de 318 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>318 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{318-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{318-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=74\), \(\mu=4.34\), \(\sigma^2= 0.17\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3118 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.99. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3118 \right)\geq 0.99.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3118 \right)=1-\phi\left( \frac{3118-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3118-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.99.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3118-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.99\]

\[ \frac{3118-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.99)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3118+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.99)*x*\sqrt{\sigma^2}-3118+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.99)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3118\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.74\) y varianza \(\sigma^2=0.39\).

Calcular la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 258 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3343 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.74\) y varianza \(\sigma^2=0.39\); \(X_i\sim \mathcal N(3.74,0.39)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.74,n*0.39).\]

Luego, la probabilidad de que 70 quesos pesen más de 258 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>258 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{258-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{258-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=70\), \(\mu=3.74\), \(\sigma^2= 0.39\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3343 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3343 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3343 \right)=1-\phi\left( \frac{3343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3343-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3343+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3343+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3343\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.87\) y varianza \(\sigma^2=0.38\).

Calcular la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 287 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3120 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.87\) y varianza \(\sigma^2=0.38\); \(X_i\sim \mathcal N(4.87,0.38)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.87,n*0.38).\]

Luego, la probabilidad de que 60 quesos pesen más de 287 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>287 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{287-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=60\), \(\mu=4.87\), \(\sigma^2= 0.38\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3120 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3120 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3120 \right)=1-\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3120-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3120+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3120+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3120\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.66\) y varianza \(\sigma^2=0.28\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 337 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3230 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.66\) y varianza \(\sigma^2=0.28\); \(X_i\sim \mathcal N(4.66,0.28)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.66,n*0.28).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 337 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>337 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{337-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{337-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.66\), \(\sigma^2= 0.28\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3230 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3230 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3230 \right)=1-\phi\left( \frac{3230-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3230-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3230-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3230-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3230+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3230+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3230\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.97\) y varianza \(\sigma^2=0.49\).

Calcular la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 323 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3102 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.97\) y varianza \(\sigma^2=0.49\); \(X_i\sim \mathcal N(4.97,0.49)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.97,n*0.49).\]

Luego, la probabilidad de que 66 quesos pesen más de 323 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>323 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{323-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{323-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=66\), \(\mu=4.97\), \(\sigma^2= 0.49\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3102 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3102 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3102 \right)=1-\phi\left( \frac{3102-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3102-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3102-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3102-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3102+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3102+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3102\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.45\) y varianza \(\sigma^2=0.23\).

Calcular la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 331 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3154 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.45\) y varianza \(\sigma^2=0.23\); \(X_i\sim \mathcal N(4.45,0.23)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.45,n*0.23).\]

Luego, la probabilidad de que 75 quesos pesen más de 331 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>331 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{331-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{331-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=75\), \(\mu=4.45\), \(\sigma^2= 0.23\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3154 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3154 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3154 \right)=1-\phi\left( \frac{3154-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3154-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3154-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3154-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3154+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3154+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3154\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.29\) y varianza \(\sigma^2=0.27\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 335 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3356 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.29\) y varianza \(\sigma^2=0.27\); \(X_i\sim \mathcal N(4.29,0.27)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.29,n*0.27).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 335 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>335 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{335-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{335-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=4.29\), \(\sigma^2= 0.27\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3356 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3356 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3356 \right)=1-\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3356-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3356+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3356+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3356\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.35\).

Calcular la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 317 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3470 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.35\); \(X_i\sim \mathcal N(4.11,0.35)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.11,n*0.35).\]

Luego, la probabilidad de que 78 quesos pesen más de 317 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>317 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{317-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=78\), \(\mu=4.11\), \(\sigma^2= 0.35\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3470 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.97. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3470 \right)\geq 0.97.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3470 \right)=1-\phi\left( \frac{3470-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3470-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.97.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3470-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.97\]

\[ \frac{3470-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.97)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3470+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.97)*x*\sqrt{\sigma^2}-3470+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.97)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3470\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.33\).

Calcular la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 296 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3495 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.39\) y varianza \(\sigma^2=0.33\); \(X_i\sim \mathcal N(4.39,0.33)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.39,n*0.33).\]

Luego, la probabilidad de que 68 quesos pesen más de 296 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>296 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{296-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{296-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=68\), \(\mu=4.39\), \(\sigma^2= 0.33\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3495 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3495 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3495 \right)=1-\phi\left( \frac{3495-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3495-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3495-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3495-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3495+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3495+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3495\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.63\) y varianza \(\sigma^2=0.18\).

Calcular la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 284 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3232 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.63\) y varianza \(\sigma^2=0.18\); \(X_i\sim \mathcal N(3.63,0.18)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.63,n*0.18).\]

Luego, la probabilidad de que 79 quesos pesen más de 284 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>284 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{284-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{284-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=79\), \(\mu=3.63\), \(\sigma^2= 0.18\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3232 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3232 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3232 \right)=1-\phi\left( \frac{3232-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3232-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3232-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3232-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3232+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3232+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3232\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.21\) y varianza \(\sigma^2=0.29\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 305 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3242 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.21\) y varianza \(\sigma^2=0.29\); \(X_i\sim \mathcal N(4.21,0.29)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.21,n*0.29).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 305 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>305 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{305-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.21\), \(\sigma^2= 0.29\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3242 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3242 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3242 \right)=1-\phi\left( \frac{3242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3242-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3242+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3242+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3242\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.21\).

Calcular la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 289 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3455 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.11\) y varianza \(\sigma^2=0.21\); \(X_i\sim \mathcal N(4.11,0.21)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.11,n*0.21).\]

Luego, la probabilidad de que 71 quesos pesen más de 289 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>289 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{289-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=71\), \(\mu=4.11\), \(\sigma^2= 0.21\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3455 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3455 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3455 \right)=1-\phi\left( \frac{3455-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3455-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3455-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3455-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3455+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3455+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3455\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.58\) y varianza \(\sigma^2=0.48\).

Calcular la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 361 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3493 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.58\) y varianza \(\sigma^2=0.48\); \(X_i\sim \mathcal N(4.58,0.48)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.58,n*0.48).\]

Luego, la probabilidad de que 80 quesos pesen más de 361 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>361 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{361-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{361-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=80\), \(\mu=4.58\), \(\sigma^2= 0.48\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3493 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.96. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3493 \right)\geq 0.96.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3493 \right)=1-\phi\left( \frac{3493-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3493-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.96.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3493-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.96\]

\[ \frac{3493-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.96)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3493+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.96)*x*\sqrt{\sigma^2}-3493+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.96)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3493\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.4\).

Calcular la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 229 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3019 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=3.58\) y varianza \(\sigma^2=0.4\); \(X_i\sim \mathcal N(3.58,0.4)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*3.58,n*0.4).\]

Luego, la probabilidad de que 65 quesos pesen más de 229 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>229 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{229-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{229-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=65\), \(\mu=3.58\), \(\sigma^2= 0.4\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3019 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.95. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3019 \right)\geq 0.95.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3019 \right)=1-\phi\left( \frac{3019-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3019-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.95.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3019-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.95\]

\[ \frac{3019-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.95)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3019+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.95)*x*\sqrt{\sigma^2}-3019+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.95)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3019\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).

[Referencia: UPR_VAC_QuesosSumaNormal]

Una empresa láctea produce una cierta variedad de queso en unidades (hormas) cuyo peso, en kg., es una v.a. con distribución normal, con media \(\mu=4.47\) y varianza \(\sigma^2=0.15\).

Calcular la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 324 kilos.

¿Cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3221 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98?

Denotemos con \(X_i\) al peso de la \(i\)-ésima horma adquirida. Sabemos que \(X_i\) son variables independientes, con distribución normal, con media \(\mu=4.47\) y varianza \(\sigma^2=0.15\); \(X_i\sim \mathcal N(4.47,0.15)\). El peso de \(n\) quesos está dado por \(\sum_{i=1}^nX_i\). Al sumar variables independientes con distribución normal, tenemos que \[\sum_{i=1}^nX_i\sim \mathcal N(n*4.47,n*0.15).\]

Luego, la probabilidad de que 73 quesos pesen más de 324 kilos es \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>324 \right)= \mathbb P\left( \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i -n*\mu }{\sqrt {n*\sigma^2}} > \frac{324-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}} \right)=1-\phi\left( \frac{324-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\;,\] con \(n=73\), \(\mu=4.47\), \(\sigma^2= 0.15\), siendo \(\phi(z)=\mathbb P(Z\leq z)\), para \(Z\sim \mathcal N(0,1)\).

Nos preguntan ahora cuántas unidades serán necesarias para satisfacer un pedido de 3221 kg. con probabilidad mayor o igual que 0.98. Es decir, buscamos \(n\) de forma tal que \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3221 \right)\geq 0.98.\] Como vimos, \[\mathbb P\left( \sum_{i=1}^{n}X_i>3221 \right)=1-\phi\left( \frac{3221-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right).\] Buscamos entonces \(n\) para que \[1-\phi\left( \frac{3221-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\geq 0.98.\] Esto se resuelve en el mundo normal. Es decir, necesitamos \[\phi\left( \frac{3221-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\right)\leq 1-0.98\]

\[ \frac{3221-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\leq \phi^{-1}( 1-0.98)\] \[ 0\leq \phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{n}*\sqrt{\sigma^2}-3221+n*\mu. \]

Es decir, tenemos que resolver una cuadrática en \(x=\sqrt{n}.\) Es decir, buscamos primero el conjunto de positividad, con \(x>0\), para \[ \phi^{-1}( 1-0.98)*x*\sqrt{\sigma^2}-3221+x^2*\mu. \] Si escribimos la expresión canónica de esta cuadrática, dada por \(ax^2+bx+c\), tenemos que \(a=\mu\), \(b=\phi^{-1}( 1-0.98)*\sqrt{\sigma^2}\) y \(c=-3221\). Luego, las raices de la cuadrática estan dadas por \[-b\pm \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}.\] Tenemos entonces que \(x\) debe ser mayor o igual que \(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\) y, por consiguiente, \(n\geq \left(-b+ \frac{\sqrt{b^2-4*a*c}}{2a}\right)^2\).