EJERCICIOS
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 1& 1.5& 2& 2.4&2.9& 3.4& 3.9& 4.4\\ \hline \text{h(m)} & 93& 91.7& 87.9& 82.3& 73.3& 64.9&52& 36.3& 18.4& -1.9\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 3.4 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 93 está dada por la relación funcional \[h(t)=93 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=3.4\) es \(h(3.4)=36.36\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 1& 1.5& 2& 2.4&2.9& 3.4& 3.9& 4.4\\ \hline \text{h(m)} & 96& 94.9& 91.1& 84.9& 76.5& 67.8&54.6& 39.5& 21.4& 1.1\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 2.4 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 96 está dada por la relación funcional \[h(t)=96 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=2.4\) es \(h(2.4)=67.78\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.4& 0.9& 1.3& 1.8& 2.2&2.7& 3.1& 3.6& 4\\ \hline \text{h(m)} & 80& 79.3& 76.1& 71.7& 64.2& 56.3&44.3& 33& 16.4& 1.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 2.7 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 80 está dada por la relación funcional \[h(t)=80 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=2.7\) es \(h(2.7)=44.28\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 0.9& 1.4& 1.8& 2.3&2.7& 3.2& 3.6& 4.1\\ \hline \text{h(m)} & 84& 82.7& 79.9& 74.4& 68.1& 58.1&48.4& 34.1& 20.5& 1.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 2.7 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 84 está dada por la relación funcional \[h(t)=84 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=2.7\) es \(h(2.7)=48.28\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.4& 0.9& 1.3& 1.7& 2.2&2.6& 3& 3.5& 3.9\\ \hline \text{h(m)} & 74& 73.4& 70.1& 65.7& 59.8& 50.3&40.9& 30.1& 13.8& -0.5\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 3 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 74 está dada por la relación funcional \[h(t)=74 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=3\) es \(h(3)=29.9\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.4& 0.9& 1.3& 1.8& 2.2&2.7& 3.1& 3.6& 4\\ \hline \text{h(m)} & 79& 78.2& 75.1& 70.6& 63& 55.3&43.3& 31.8& 15.6& 0.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 1.3 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 79 está dada por la relación funcional \[h(t)=79 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=1.3\) es \(h(1.3)=70.72\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 0.9& 1.4& 1.8& 2.3&2.7& 3.2& 3.6& 4.1\\ \hline \text{h(m)} & 82& 80.8& 78.1& 72.3& 66.1& 56&46.1& 31.8& 18.4& -0.4\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 1.4 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 82 está dada por la relación funcional \[h(t)=82 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=1.4\) es \(h(1.4)=72.4\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 0.9& 1.4& 1.8& 2.3&2.7& 3.2& 3.6& 4.1\\ \hline \text{h(m)} & 84& 82.8& 80& 74.4& 68.1& 58.2&48.3& 33.9& 20.8& 1.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 0.9 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 84 está dada por la relación funcional \[h(t)=84 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=0.9\) es \(h(0.9)=80.03\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 0.9& 1.4& 1.9& 2.3&2.8& 3.3& 3.7& 4.2\\ \hline \text{h(m)} & 88& 86.5& 84& 78.7& 70.3& 62.1&49.6& 34.7& 20.9& 1.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 3.3 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 88 está dada por la relación funcional \[h(t)=88 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=3.3\) es \(h(3.3)=34.64\).
La tabla siguiente presenta la información de la altura de una piedra arrojada desde lo alto de un edificio en función del tiempo.
\[\begin{array}{c|cccccccccc} \text{t(s)} & 0& 0.5& 0.9& 1.4& 1.8& 2.3&2.7& 3.2& 3.6& 4.1\\ \hline \text{h(m)} & 83& 81.8& 79.1& 73.5& 67.1& 57.4&47.5& 32.8& 19.4& 0.6\\ \end{array}\]Grafique los datos obtenidos y elija cuál es la mejor relaciona funcional que parece describirlos. Luego responda:
Indique cúal de es la altura de la piedra en el instante 3.2 según las leyes de la mecánica clásica.
Las leyes de la mecánica clásica postulan que la altura (high), en metros, en el instante \(t\), en segundo, de un objeto lanzado con velocidad inicial 0 desde una altura de 83 está dada por la relación funcional \[h(t)=83 -4.9 . t^2.\]
Luego, la altura de la piedra en el instante \(t=3.2\) es \(h(3.2)=32.82\).
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>7.5\) y para \(t<4.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(5 \leq X< 7).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{5, 6, 7\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=3\) y el menor valor perteneciente al rango es el 5.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 6)=F_X(6)=0.8\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(6)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(6\). Es decir, \(p_X(6) =F_X(6)-F_X(6^-)=0.5\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(6^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(6^-)=\lim_{t\uparrow 6} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 6)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 6)&=& 1-P(X< 6)=1-(P(X\leq 6)-P(X= 6))\\ &=&1-\left\{F_X(6)-(F_X(6)-F_X(6^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(6^-)=0.8. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(5 \leq X< 7)=F_X(7^- )-F_X(5^-)=0.8.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>9.5\) y para \(t<4.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 6).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(5 \leq X< 7).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{9, 5, 6, 7, 8\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=5\) y el menor valor perteneciente al rango es el 5.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 6)=F_X(6)=0.4\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(6)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(6\). Es decir, \(p_X(6) =F_X(6)-F_X(6^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(6^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(6^-)=\lim_{t\uparrow 6} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 6)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 6)&=& 1-P(X< 6)=1-(P(X\leq 6)-P(X= 6))\\ &=&1-\left\{F_X(6)-(F_X(6)-F_X(6^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(6^-)=0.4. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(5 \leq X< 7)=F_X(7^- )-F_X(5^-)=0.4.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>10.5\) y para \(t<6.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(7 \leq X< 10).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{7, 9, 10\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=3\) y el menor valor perteneciente al rango es el 7.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 9)=F_X(9)=0.9\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(9)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(9\). Es decir, \(p_X(9) =F_X(9)-F_X(9^-)=0.5\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(9^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(9^-)=\lim_{t\uparrow 9} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 9)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 9)&=& 1-P(X< 9)=1-(P(X\leq 9)-P(X= 9))\\ &=&1-\left\{F_X(9)-(F_X(9)-F_X(9^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(9^-)=0.9. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(7 \leq X< 10)=F_X(10^- )-F_X(7^-)=0.9.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>10.5\) y para \(t<6.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(7 \leq X< 9).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{9, 10, 7, 8\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=4\) y el menor valor perteneciente al rango es el 7.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 8)=F_X(8)=0.4\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(8)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(8\). Es decir, \(p_X(8) =F_X(8)-F_X(8^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(8^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(8^-)=\lim_{t\uparrow 8} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 8)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 8)&=& 1-P(X< 8)=1-(P(X\leq 8)-P(X= 8))\\ &=&1-\left\{F_X(8)-(F_X(8)-F_X(8^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(8^-)=0.4. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(7 \leq X< 9)=F_X(9^- )-F_X(7^-)=0.4.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>11.5\) y para \(t<7.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 9).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(8 \leq X< 10).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{10, 9, 8, 11\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=4\) y el menor valor perteneciente al rango es el 8.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 9)=F_X(9)=0.6\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(9)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(9\). Es decir, \(p_X(9) =F_X(9)-F_X(9^-)=0.1\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(9^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(9^-)=\lim_{t\uparrow 9} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 9)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 9)&=& 1-P(X< 9)=1-(P(X\leq 9)-P(X= 9))\\ &=&1-\left\{F_X(9)-(F_X(9)-F_X(9^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(9^-)=0.6. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(8 \leq X< 10)=F_X(10^- )-F_X(8^-)=0.6.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>9.5\) y para \(t<6.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 8).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(7 \leq X< 9).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{8, 7, 9\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=3\) y el menor valor perteneciente al rango es el 7.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 8)=F_X(8)=0.7\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(8)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(8\). Es decir, \(p_X(8) =F_X(8)-F_X(8^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(8^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(8^-)=\lim_{t\uparrow 8} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 8)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 8)&=& 1-P(X< 8)=1-(P(X\leq 8)-P(X= 8))\\ &=&1-\left\{F_X(8)-(F_X(8)-F_X(8^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(8^-)=0.7. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(7 \leq X< 9)=F_X(9^- )-F_X(7^-)=0.7.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>6.5\) y para \(t<2.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 4).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=4).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 4).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(3 \leq X< 5).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{6, 4, 5, 3\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=4\) y el menor valor perteneciente al rango es el 3.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 4)=F_X(4)=0.3\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(4)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(4\). Es decir, \(p_X(4) =F_X(4)-F_X(4^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(4^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(4^-)=\lim_{t\uparrow 4} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 4)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 4)&=& 1-P(X< 4)=1-(P(X\leq 4)-P(X= 4))\\ &=&1-\left\{F_X(4)-(F_X(4)-F_X(4^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(4^-)=0.3. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(3 \leq X< 5)=F_X(5^- )-F_X(3^-)=0.3.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>9.5\) y para \(t<5.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(6 \leq X< 8).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{7, 6, 8, 9\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=4\) y el menor valor perteneciente al rango es el 6.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 7)=F_X(7)=0.4\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(7)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(7\). Es decir, \(p_X(7) =F_X(7)-F_X(7^-)=0.1\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(7^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(7^-)=\lim_{t\uparrow 7} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 7)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 7)&=& 1-P(X< 7)=1-(P(X\leq 7)-P(X= 7))\\ &=&1-\left\{F_X(7)-(F_X(7)-F_X(7^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(7^-)=0.4. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(6 \leq X< 8)=F_X(8^- )-F_X(6^-)=0.4.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>13.5\) y para \(t<8.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 10).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=10).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 10).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(9 \leq X< 11).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{10, 13, 11, 12, 9\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=5\) y el menor valor perteneciente al rango es el 9.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 10)=F_X(10)=0.3\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(10)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(10\). Es decir, \(p_X(10) =F_X(10)-F_X(10^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(10^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(10^-)=\lim_{t\uparrow 10} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 10)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 10)&=& 1-P(X< 10)=1-(P(X\leq 10)-P(X= 10))\\ &=&1-\left\{F_X(10)-(F_X(10)-F_X(10^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(10^-)=0.3. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(9 \leq X< 11)=F_X(11^- )-F_X(9^-)=0.3.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
El siguiente gráfico corresponde a la función \(F_X(t)\), la función de distribución acumulada de la variable \(X\), que se mantiene constante para \(t>8.5\) y para \(t<4.5\)
Indicar la cantidad de valores que conforman el rango de \(X\): \(\#Rg(X)\).
Indicar cuál es el menor valor perteneciente al rango de \(X\).
Indicar cuál es el valor de \(P(X\leq 7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X=7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(X\geq 7).\)
Indicar cuál es el valor de \(P(5 \leq X< 8).\)
Calcular \(\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=\)
Calcular \(\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=\)
Recordemos que \(F_X\), la función de distribución acumulada de la variable aleatoria \(X\), está definida por \[F_X(t)= P(X\leq t)\;, \forall t\in \mathbb R.\] Es una función definida para cada valore \(t\) en los reales y toma valores en el conjunto \([0,1]\): \(F_X: \mathbb R\to [0,1]\).
Conodiendo \(F_X\), el rango de \(X\) está dado por los puntos de discontinuidad de \(F_X\). Los valores en el eje horizontal donde la función pega un salto. En este caso, tenemos que \(Rg(X)=\{8, 5, 7\}\) y por lo tanto, \(\#Rg(X)=3\) y el menor valor perteneciente al rango es el 5.
Por definición de \(F_X\), \(P(X\leq 7)=F_X(7)=0.4\), como vemos en el gráfico.
Además, \(p_X(7)\), la función de probabilidad puntual, está dada por el salto de la función acumulada en \(7\). Es decir, \(p_X(7) =F_X(7)-F_X(7^-)=0.2\), como vemos en el grárico, recordando que \(F_X(7^-)\) denota el límite por izquierda: \(F_X(7^-)=\lim_{t\uparrow 7} F_X(t)\).
Para calcular \(P(X\geq 7)\) hay diferentes estrategias. Vamos a optar por el complemento. \[\begin{eqnarray*} P(X\geq 7)&=& 1-P(X< 7)=1-(P(X\leq 7)-P(X= 7))\\ &=&1-\left\{F_X(7)-(F_X(7)-F_X(7^-))\right\}\\ &=& 1-F_X(7^-)=0.4. \end{eqnarray*}\]
Acá, de nuevo, hay que acomodar para conseguir lo que uno quiere en terminos de \(F_X\). Operando como hicimos en el caso anterior, llegamos a que
\[P(5 \leq X< 8)=F_X(8^- )-F_X(5^-)=0.4.\]
Por último, toda función de distribución acumulada satisface las siguientes dos propiedades: \[\displaystyle {\lim_{t\to -\infty }}F_X(t)=0.\]
\[\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}} F_X(t)=1.\]
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-2\), \(Var(X)=2\) y \(Var(X^2)= 2.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-2\), \(Var(X)=4\) y \(Var(X^2)= 6.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-5\), \(Var(X)=3\) y \(Var(X^2)= 8.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-6\), \(Var(X)=6\) y \(Var(X^2)= 3.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-4\), \(Var(X)=7\) y \(Var(X^2)= 8.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-5\), \(Var(X)=2\) y \(Var(X^2)= 8.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-8\), \(Var(X)=7\) y \(Var(X^2)= 3.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-7\), \(Var(X)=3\) y \(Var(X^2)= 6.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-8\), \(Var(X)=5\) y \(Var(X^2)= 8.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.
(5 puntos) Sea \(X\) una variable aleatoria con \(E(X)=-2\), \(Var(X)=2\) y \(Var(X^2)= 6.\) Seleccionar todas las identidades que son siempre verdaderas.