Intervalos

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.86\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.86}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.86}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.86}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.86}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.86}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.86/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.86/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.73\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.73}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.73}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.73}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.73}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.73}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.73/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.73/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.82\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.82}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.82}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.82}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.82}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.82}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.82/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.82/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.83\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.83}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.83}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.83}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.83}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.83}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.83/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.83/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.9\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.9}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.9}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.9}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.9}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.9}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.9/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.9/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.34\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.34}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.34}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.34}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.34}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.34}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.34/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.34/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.72\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.72}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.72/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.72/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.72\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.72}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.72/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.72/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.4\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-2.58\sqrt{\frac{0.4}{n}} <\mu <\overline {X}_n+2.58\sqrt{\frac{0.4}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.4}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-2.58\sqrt{\frac{0.4}{n}} <\mu-\overline {X}_n <2.58\sqrt{\frac{0.4}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.4/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-2.58<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.4/n}} <2.58\right)=\mathbb{P}\left(-2.58<Z<2.58\right)=\Phi(2.58)-\Phi(-2.58)\] \[=\Phi(2.58)-[1-\Phi(2.58)]=2\Phi(2.58)-1=0.9901\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.75\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.75}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.75}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.75}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.75}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.75}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.75/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.75/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.45\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-2.58\sqrt{\frac{0.45}{n}} <\mu <\overline {X}_n+2.58\sqrt{\frac{0.45}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.45}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-2.58\sqrt{\frac{0.45}{n}} <\mu-\overline {X}_n <2.58\sqrt{\frac{0.45}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.45/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-2.58<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.45/n}} <2.58\right)=\mathbb{P}\left(-2.58<Z<2.58\right)=\Phi(2.58)-\Phi(-2.58)\] \[=\Phi(2.58)-[1-\Phi(2.58)]=2\Phi(2.58)-1=0.9901\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.77\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.77}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.77}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.77}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.77}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.77}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.77/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.77/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.3\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.3}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.3}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.3}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.3}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.3}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.3/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.3/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.72\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-2.58\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu <\overline {X}_n+2.58\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.72}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-2.58\sqrt{\frac{0.72}{n}} <\mu-\overline {X}_n <2.58\sqrt{\frac{0.72}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.72/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-2.58<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.72/n}} <2.58\right)=\mathbb{P}\left(-2.58<Z<2.58\right)=\Phi(2.58)-\Phi(-2.58)\] \[=\Phi(2.58)-[1-\Phi(2.58)]=2\Phi(2.58)-1=0.9901\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.56\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.56}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.56}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.56}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.56}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.56}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.56/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.56/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.8\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.8}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.8}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.8}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.8}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.8}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.8/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.8/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.34\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.96\sqrt{\frac{0.34}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.96\sqrt{\frac{0.34}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.34}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.96\sqrt{\frac{0.34}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.96\sqrt{\frac{0.34}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.34/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.96<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.34/n}} <1.96\right)=\mathbb{P}\left(-1.96<Z<1.96\right)=\Phi(1.96)-\Phi(-1.96)\] \[=\Phi(1.96)-[1-\Phi(1.96)]=2\Phi(1.96)-1=0.95\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.49\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-2.58\sqrt{\frac{0.49}{n}} <\mu <\overline {X}_n+2.58\sqrt{\frac{0.49}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.49}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-2.58\sqrt{\frac{0.49}{n}} <\mu-\overline {X}_n <2.58\sqrt{\frac{0.49}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.49/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-2.58<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.49/n}} <2.58\right)=\mathbb{P}\left(-2.58<Z<2.58\right)=\Phi(2.58)-\Phi(-2.58)\] \[=\Phi(2.58)-[1-\Phi(2.58)]=2\Phi(2.58)-1=0.9901\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.89\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-1.64\sqrt{\frac{0.89}{n}} <\mu <\overline {X}_n+1.64\sqrt{\frac{0.89}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.89}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-1.64\sqrt{\frac{0.89}{n}} <\mu-\overline {X}_n <1.64\sqrt{\frac{0.89}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.89/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-1.64<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.89/n}} <1.64\right)=\mathbb{P}\left(-1.64<Z<1.64\right)=\Phi(1.64)-\Phi(-1.64)\] \[=\Phi(1.64)-[1-\Phi(1.64)]=2\Phi(1.64)-1=0.899\]

Sean \(X_i\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuídas, con \(X_i\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)\), siendo \(\sigma^2=0.68\). Consideremos \[\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Calcular la siguiente probabilidad

\[\mathbb P\left(\overline {X}_n-2.58\sqrt{\frac{0.68}{n}} <\mu <\overline {X}_n+2.58\sqrt{\frac{0.68}{n}}\right)\]

• Para resolver este ejercicio, recordemos que si las variables \(X_i\) tienen distribución normal, el promedio también tiene distribución normal. Es más, conociendo las propiedades la esperanza y varianza para el promedio de variables iid, tenemos que \[\mathbb E(\overline X_n)=\mu\;\quad V(\overline X_n)=\frac{0.68}{n}.\] Tenemos entonces que \[\overline X_n\sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n).\] Ahora bien, para calcular la probabilidad pedida, necesitamos estandarizar. Empezamos restando \(\overline X_n\) en todos los términos para obtener que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb P\left(-2.58\sqrt{\frac{0.68}{n}} <\mu-\overline {X}_n <2.58\sqrt{\frac{0.68}{n}}\right).\] Ahora, multiplicamos por \(-1\) (dando vuelta las desigualdades) y dividimos por \(\sqrt{0.68/n}\). Concluímos entonces que la probabilidad pedida coincide con \[\mathbb{P}\left(-2.58<\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{0.68/n}} <2.58\right)=\mathbb{P}\left(-2.58<Z<2.58\right)=\Phi(2.58)-\Phi(-2.58)\] \[=\Phi(2.58)-[1-\Phi(2.58)]=2\Phi(2.58)-1=0.9901\]

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 70.31, 72.09, 71.16, 67.09

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza70.1625 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza70.1625 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 70.1625En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 70.1625

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 69.7, 69.93, 77.3, 73.1

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza72.5075 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza72.5075 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 72.5075En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 72.5075

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.5222 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 64.21, 68.3, 66.27, 73.75

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza68.1325 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza68.1325 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 68.1325En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 68.1325

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 76.16, 69.32, 68.96, 75.36

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza72.45 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza72.45 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 72.45En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 72.45

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 69.57, 68.83, 74.63, 65.9

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza69.7325 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza69.7325 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 69.7325En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 69.7325

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.6527 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 70.58, 70.39, 72.02, 67.94

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza70.2325 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza70.2325 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 70.2325En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 70.2325

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 69.14, 73.87, 73.34, 74.46

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza72.7025 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza72.7025 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 72.7025En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 72.7025

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 72.35, 67.81, 72.34, 68.88

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza70.345 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza70.345 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 70.345En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 70.345

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 76.18, 72.1, 73.15, 70.38

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza72.9525 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza72.9525 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 72.9525En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 72.9525

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 73.84, 67.6, 69.51, 74

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza71.2375 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza71.2375 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 71.2375En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 71.2375

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.6527 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 68.93, 72.76, 67.57, 70.3

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza69.89 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza69.89 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 69.89En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 69.89

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.6527 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 70.22, 64.68, 65.61, 68.25

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza67.19 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza67.19 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 67.19En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 67.19

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 74.8, 68.57, 68.96, 67.19

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza69.88 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza69.88 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 69.88En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 69.88

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.5222 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 75.64, 70.97, 70.46, 67.77

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza71.21 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza71.21 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 71.21En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 71.21

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 67.71, 68.21, 75.16, 72.34

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza70.855 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza70.855 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 70.855En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 70.855

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 71.97, 66.57, 65.77, 67.23

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza67.885 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza67.885 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 67.885En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 67.885

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.6527 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 66.02, 73.92, 68.91, 69.45

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza69.575 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza69.575 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 69.575En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 69.575

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.5222 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 68.27, 67.49, 70.97, 68.9

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza68.9075 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza68.9075 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 68.9075En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 68.9075

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.6527 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 68.42, 66.5, 72.75, 73.35

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza70.255 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza70.255 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 70.255En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 70.255

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.7833 .

Se desea determinar una magnitud (o mesurando) \(\mu\). Para ello se realizan \(n\) mediciones independientes de la misma magnitud en idénticas condiciones, que denotaremos con \(X_{1},...,X_{n}\). Asumimos el siguiente modelo para las variables aleatorias \(X_{i}\) \[ X_{i}=\mu+\varepsilon_{i} \] donde \(\mu\) es la verdadera magnitud desconocida, y \(\varepsilon_{i}\) es la variable aleatoria que denota el error de la i-ésima medición. Asumimos que \(\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n}\) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución normal con media cero y que su varianza es \(\sigma^2=9\).

Al realizarse \(n=4\) mediciones se obtienen los siguientes datos: 69.55, 70.36, 67.83, 72.11

Eligir la respuesta adecuada en cada uno de los siguientes desplegables.

El método es exacto y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor de la magnitud de interésEl método es preciso y por consiguiente la esperanza de las mediciones conincide con el valor del mesurando

El promedio es un estimador consistente de la esperanza69.9625 es un estimador consistente de la esperanza

El promedio es un estimador insesgado de la esperanza69.9625 es un estimador insesgado de la esperanza

El valor del mesurando es 69.9625En base a los datos que dispone, la estimación del valor del mesurando es 69.9625

Calcular la probabilidad de que el estimador, utilizando n= 4 mediciones, diste de la verdadera magnitud en menos de 0.5 unidades.

Determinar cuántas mediciones son necesarias para que la probabilidad de que el estimador diste del mesurando en menos de 0.5 unidades sea mayor a 0.5222 .

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 746.2567\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 746.2567\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=746.2567\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((740.9988, 751.5146)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=820\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 752.625\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.625\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.625\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((747.3671, 757.8829)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=664\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 753.9817\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 753.9817\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=753.9817\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((750.6241, 757.3392)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=271\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 750.3757\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 750.3757\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=750.3757\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((747.2672, 753.4842)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=335\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.1114\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.1114\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.1114\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((745.4074, 752.8154)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=385\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 748.95\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.95\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.95\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((745.8415, 752.0585)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=271\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.93\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.93\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.93\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((745.9292, 753.9308)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=385\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=8\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 747.58\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 747.58\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=747.58\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((743.0265, 752.1335)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=664\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=9\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 751.7756\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 751.7756\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=751.7756\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((748.5089, 755.0422)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=385\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 748.83\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.83\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.83\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((744.8292, 752.8308)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=318\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.5857\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.5857\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.5857\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((744.7179, 754.4536)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=549\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 753.5629\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 753.5629\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=753.5629\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((749.8589, 757.2668)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1.1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=318\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=9\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.6144\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.6144\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.6144\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((746.3478, 752.8811)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=385\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=7\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 751.3214\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 751.3214\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=751.3214\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((748.2129, 754.4299)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=335\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=9\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 750.4667\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 750.4667\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=750.4667\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((746.1736, 754.7597)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=820\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=10\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 748.674\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.674\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.674\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((744.6013, 752.7467)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=820\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=10\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 748.664\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.664\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.664\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((746.0633, 751.2647)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(1\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=271\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=8\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 752.1525\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.1525\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.1525\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((747.599, 756.706)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(99\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=820\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=9\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.8344\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.8344\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.8344\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((747.093, 752.5759)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(90\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=335\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). En una muestra de \(n=6\) botellas el contenido promedio es \(\overline x= 749.5833\).

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Asumiendo que \(\sigma^2=25\) realizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95. Indicar el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo.

Determinar de qué tamaño debe tomarse la muestra para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.5833\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.5833\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) conocida, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[(\overline{X}_n - z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline{X}_{n} +z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((745.5826, 753.5841)\).

• Por último, notemos que la longitud del intervalo de confianza es \(z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\). Luego, haciendo \(n\) tender a infinito, se puede hacer tan chica como uno quiera. En partícular, para que la longitud del intervalo de confianza para \(\mu\) de nivel \(95\%\) sea de longitud a lo sumo \(0.9\) mililitro es tamaño de la muestra debe ser al menos \(n=475\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 749.99, 744.25, 746.97, 749.37, 745.25

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 747.166\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=747.166\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((744.7804, 749.5516)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 754.17, 748.06, 753.17, 747.75, 742.35, 747.29, 749.76

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.9357\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.9357\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((746.0247, 751.8468)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 746.77, 744.97, 746.27, 753.73, 754.52, 743.84, 751.14, 747.87, 751.67

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.9756\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.9756\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((744.6237, 753.3274)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 752.32, 742.39, 751.33, 758.87, 742.46

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.474\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.474\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((734.9434, 764.0046)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 757.51, 744.96, 752.42, 757.09, 738.19, 746.88, 743.35, 744.71

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.1388\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.1388\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((739.6227, 756.6548)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 746.1, 747.16, 751.78, 758.23, 753.27, 759.51, 753.64

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.8129\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.8129\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((749.1019, 756.5238)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 764.99, 748.21, 747.11, 743.75, 750.51, 753.16, 746.16, 750.17, 751.29

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 750.5944\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=750.5944\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((743.7587, 757.4301)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 752.57, 748.34, 750.08, 747.09, 750.86

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 749.788\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=749.788\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((747.1286, 752.4474)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 745.11, 750, 747.48, 744.14, 755.43, 747.35, 740.09, 741.16

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 746.345\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=746.345\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((743.0383, 749.6517)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 754.32, 750.16, 744.47, 748, 744.3, 749.87, 747.48, 744.05, 749.42, 749.57

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.164\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.164\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((744.8367, 751.4913)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 746.51, 753.5, 759.23, 756.33, 761.69, 737.71

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.495\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.495\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((743.1081, 761.8819)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 752.29, 747.99, 754.47, 739.59, 743.86, 752.59, 746.33, 757.9, 763.72

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 750.9711\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=750.9711\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((746.3864, 755.5559)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 750.87, 756.2, 750.91, 749.19, 755.53, 756.95, 752.79

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 753.2057\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=753.2057\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((750.3951, 756.0163)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 756.82, 744.54, 750.3, 750.87, 753.07, 758.77, 756.68, 750.74

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.7238\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.7238\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((747.0092, 758.4383)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 742.01, 763.08, 751.61, 754.23, 753.33, 755.23, 743.47, 744.12, 756.01, 750.14

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.9, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 751.323\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=751.323\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((747.5085, 755.1375)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 745.62, 749.58, 747.29, 742.64, 739.6, 748.64, 754.95, 749.1, 747.78, 744.12

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 746.932\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=746.932\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((742.5776, 751.2864)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 744.56, 746.27, 757.47, 751.12, 754.27, 756.58

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 751.7117\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=751.7117\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((742.862, 760.5613)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 748.93, 752.27, 756.57, 756.86, 751.95, 752.53

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.99, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 753.185\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=753.185\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((748.1997, 758.1703)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 741.9, 751.98, 751.04, 746.89, 757.01, 750.73, 746.52, 744.31, 753.48, 745.74

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 748.96\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=748.96\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((745.6397, 752.2803)\).

Una máquina embotelladora llena botellas con cantidades que siguen una distribución \(\mathcal N(\mu, \sigma^2)\). Se quiere realizar una estimación por intervalos del parámetro \(\mu\). Al realizarse una serie de mediciones se obtienen los siguientes datos: 752.8, 760.48, 749.56, 743.23, 757.79

Indicar cuál es la esimación (puntual) de \(\mu\) asociada a los valores observados.

Ralizar una estimación por intervalos para \(\mu\) utilizando un procedimiento de nivel 0.95, teniendo en cuenta que la varianza poblacional es DESCONOCIDA. Indicar el límite inferior del intervalo.

y el límite superior del intervalo.

• El estimador de \(\mu\) es \[\widehat \mu=\overline X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.\] Ahora bien, considerando que el promedio observado es \(\overline x= 752.772\), concluímos que la estimación puntual está dada por \(\widehat\mu_{obs}=752.772\).

• Para construir intervalos de confianza en el mundo normal con varianza \(\sigma^2\) DESCONICIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución.
  Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. Luego, la estimacion por intervalos está dada por \((744.3059, 761.2381)\).

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=6\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.88\) y \(s^2=0.14\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.9\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.14\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.42\) y \(s^2=0.6\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.92\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.6\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=4\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.56\) y \(s^2=1.36\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.92\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=1.36\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=5\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.49\) y \(s^2=1.59\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.94\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=1.59\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.15\) y \(s^2=0.95\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.91\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.95\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=9\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.61\) y \(s^2=0.48\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.48\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=9\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.42\) y \(s^2=0.68\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.92\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.68\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=7\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.21\) y \(s^2=0.35\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.95\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.35\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=9\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.09\) y \(s^2=0.87\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.87\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=4\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.65\) y \(s^2=0.13\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.95\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.13\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=4\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.61\) y \(s^2=0.11\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.94\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.11\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.16\) y \(s^2=0.68\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.91\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.68\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.34\) y \(s^2=0.07\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.07\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.63\) y \(s^2=0.53\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.53\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=8\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.58\) y \(s^2=0.45\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.9\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.45\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=7\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.36\) y \(s^2=1.19\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.91\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=1.19\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=7\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.6\) y \(s^2=0.52\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.9\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.52\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=9\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=14.91\) y \(s^2=0.38\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.38\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=9\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.19\) y \(s^2=0.65\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.93\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.65\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Se necesita realizar una estimación por intervalos del peso (en Kg.) medio de las bolsa de cemento que venden en MATeriales. Se sabe que el peso de cada bolsa está dado por una variable aleatoria con distribución normal con parámetros desconocidos. El equipo de control de calidad toma una muestra de \(n=7\) bolsas y se observan los siguientes valores para la media y varianza muestral: \(\overline x_n=15.54\) y \(s^2=0.56\) y realiza la estimación por intervalos con nivel de confianza de \(0.91\). Un pasante con poca experiencia, hace una estimación de mismo nivel pero asume que la varianza es conocido e igual a \(\sigma^2=0.56\).

El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más largo que el intervalo calculado con por el pasante.El intervalo calculado por el equipo de control de calidad utilizando un pocedimiento donde la varianza estimada es más corto que el intervalo calculado con por el pasante.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=13\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=6.12\).

Si se sabe que \(\sigma^2=6.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=6.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((4.33, 7.91)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((4, 8.24)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=14\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.9\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=4.73\).

Si se sabe que \(\sigma^2=13.69\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=13.69\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((3.1, 6.36)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((2.98, 6.48)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=13\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=7.16\).

Si se sabe que \(\sigma^2=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((4.37, 9.95)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((3.86, 10.46)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=5\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=8.95\).

Si se sabe que \(\sigma^2=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((4.46, 13.44)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((0.92, 16.98)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=6\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=2.24\).

Si se sabe que \(\sigma^2=14.44\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=14.44\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((-0.8, 5.28)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((-1.75, 6.23)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=7\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=8.35\).

Si se sabe que \(\sigma^2=10.89\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=10.89\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((5.91, 10.79)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((5.3, 11.4)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=9\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=7.63\).

Si se sabe que \(\sigma^2=10.24\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=10.24\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((5.54, 9.72)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((5.17, 10.09)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=12\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=7.74\).

Si se sabe que \(\sigma^2=3.24\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=3.24\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((6.4, 9.08)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((6.13, 9.35)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=7\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=5\).

Si se sabe que \(\sigma^2=7.84\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=7.84\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((2.93, 7.07)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((2.41, 7.59)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=13\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=11.89\).

Si se sabe que \(\sigma^2=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=15.21\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((9.77, 14.01)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((9.53, 14.25)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=11\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=10.25\).

Si se sabe que \(\sigma^2=6.76\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=6.76\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((8.23, 12.27)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((7.77, 12.73)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=16\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=5.83\).

Si se sabe que \(\sigma^2=3.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=3.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((4.61, 7.05)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((4.43, 7.23)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=15\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=8.99\).

Si se sabe que \(\sigma^2=2.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=2.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((7.99, 9.99)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((7.84, 10.14)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=12\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=5.29\).

Si se sabe que \(\sigma^2=9.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=9.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((2.98, 7.6)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((2.51, 8.07)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=15\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=9.03\).

Si se sabe que \(\sigma^2=3.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=3.61\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((8.07, 9.99)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((7.98, 10.08)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=7\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=6.61\).

Si se sabe que \(\sigma^2=4.41\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=4.41\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((5.05, 8.17)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((4.67, 8.55)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=15\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=10.07\).

Si se sabe que \(\sigma^2=5.76\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=5.76\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((8.86, 11.28)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((8.74, 11.4)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=9\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=7.81\).

Si se sabe que \(\sigma^2=4.84\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=4.84\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((5.92, 9.7)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((5.35, 10.27)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=11\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.95\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=6.37\).

Si se sabe que \(\sigma^2=5.29\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=5.29\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((5.01, 7.73)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((4.82, 7.92)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.

Consideramos \(X_1,...,X_n\) una muestra aleatoria con distribución \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), con \(n=12\).

Calcular la estimación por intervalos para \(\mu\) de nivel de significación \(0.99\) sabiendo que \(\overline{X}_{\hbox{obs}}=5.96\).

Si se sabe que \(\sigma^2=6.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

Si se sabe que \(S^2_{\hbox{obs}}=6.25\), indicá el límite inferior del intervalo

y el límite superior del intervalo

• Cuando trabajamos en el mundo normal con varianza conocida, el pivot es \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim Z\] donde \(Z\sim \mathcal N(0,1)\). Luego, el intervalo de confianza de nivel \(1-\alpha\) está dado por Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\quad,\quad \overline X_n+z_{\alpha/2}\sqrt{\sigma^2/n}\right),\] recordando que \(z_{\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad normal estandar. Contemplando la estimación puntual, el valor de \(\sigma^2\), el tamaño muestral \(n\) y el nivel pedido, concluímos que la estimacion por intervalos está dada por \((4.1, 7.82)\).

• En el mundo normal, si la varianza es DESCONOCIDA, usamos el pivot dado por \[\frac{\overline X_n-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}\] donde \(t_{n-1}\) denota a la distribución de Student con \(n-1\) grados de libertad. Es decir, al usar \(S^2\) para estimar el valor \(\sigma^2\) de la varianza, tenemos un nuevo pivot con una nueva distribución. Luego, dado un nivel \(1-\alpha\), el intervalo de confianza está dado por \[\left(\overline X_n-t_{n-1\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\quad,\quad \overline X_n+t_{n-1,\alpha/2}\sqrt{S^2/n}\right),\] recordando que \(t_{n-1,\alpha/2}\) deja area \(\alpha/2\) a derecha de la densidad \(t\)- Student con \(n-1\) grados de libertad. La estimacion por intervalos está dada por \((3.72, 8.2)\).

• En conclusión, el objetivo de este ejercicio es enfatizar que cuando la varianza es DESCONOCDA, no podemos usar su estimación y hacer como si esa fuera la verdadera varianza.